Внутри треугольника ABC отмечена точка K. Через неё проведены 2 прямые, параллельные сторонам AB и BC и пересекающие стороны AB и BC в точках M и N, причём MK=MA, NK=NC. Докажите, что K - точка пересечения биссектрис треугольни...

Проведи АК. Получится равнобедренный треугольник АКМ, значит, угол КАМ равен углу МКА. С другой стороны, угол МКА равен углу ВАК - они накрест лежащие при параллельных прямых. Вывод: угол КАМ равен углу ВАК, т. е. АК - биссектриса. Аналогично докажи про СК, вот и получится, что две биссектрисы пересеклись в точке К, а по свойству биссектрис треугольника и третья пройдет через эту же точку.