Внутри треугольника ABC выбрана точка М. Как построить отрезок с концами на сторонах треугольника АВС так, чтобы точка М была его серединой?

Немного другая задача :). Внутри УГЛА c вершиной в точке A выбрана точка M, надо построить отрезок с концами на сторонах УГЛА, так, чтобы точка M была бы его серединой. Отличие этой задачи в том, что 1) концы отрезка могут быть на ПРОДОЛЖЕНИИ сторон 2) у треугольника ТРИ угла. Я отвечаю на поставленный вопрос. То есть описываю процесс построения. Все действия легко осуществляются с помощью циркуля и линейки. 1) проводится биссектриса угла. 2) из точки M проводится перпендикуляр к биссектрисе. Он пересекает стороны угла в точках K и N. 3) из точек K и N проводятся перпендикуляры к сторонам угла, которые пересекаются НА БИССЕКТРИСЕ угла в точке O (это центр окружности, которая касается сторон угла в точках K и N)  4) соединяются точки O и M. 5) через точку M проводится прямая, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ отрезку OM, пересекающая стороны угла в точках P и Q. PQ и есть нужный отрезок, точка M является его серединой. Доказывается это так.  ∠PKO = ∠PMO = 90°;  поэтому точки K и M лежат на окружности, построенной на PO, как на диаметре.  В этой окружности ∠MPO и ∠MKO опираются на одну и ту же дугу, то есть равны. Аналогично,  ∠QMO = ∠QNO = 90°;  поэтому точки N и M лежат на окружности, построенной на QO, как на диаметре.  В этой окружности ∠MQO и ∠MNO опираются на одну и ту же дугу, то есть равны. Так как треугольник OKN равнобедренный, ∠MKO = ∠MNO; Поэтому ∠MPO = ∠MQO, и треугольник PQO тоже равнобедренный.  OM - высота к основанию этого треугольника PQO. То есть, его медиана. ЧТД.