Внутри треугольника выбраны две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 2, 4 и 8, а от другой (стороны рассматриваются в том же порядке) — 4, 5 и 7. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Пусть а, b, c - стороны треугольника, к которым проведены соответствующие отрезки. Тогда, если S - площадь треугольника, то 2S=2a+4b+8c и 2S=4a+5b+7c. Вычитая эти равенства, получим 2a+b=c. Значит 2S=2a+4b+8(2a+b)=18a+12b. Радиус вписанной окружности равен   2S/(a+b+c)=(18a+12b)/(a+b+(2a+b))=(18a+12b)/(3a+2b)=6(3a+2b)/(3a+2b)=6.