Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

На рисунке АВ равна половине ребра квадрата. Пускай ребро куба равно x. Из прямоугольного треугольника ОАВ: за теоремой Пифагора: ОА^2 = OB^2 + AB^2, а поскольку OB = AB как радиусы вписанного шара,равные половине ребра куба, имеем: OA^2 = (x/2)^2 + (x/2)^2 = x^2/4 + x^2/4 = (2x^2)/4, OA = корень из двух, умноженный на x/2. Радиус описанного шара равен корень из двух, умноженный на х/2, а радиус вписанного шара равен х/2. Площадь поверхности шара равна 4*pi*R^2 = pi*D^2. Поскольку радиусы описанного и вписанного шара равны ОА и ОВ, то диаметры их равны 2ОА и 2ОВ соответственно. Площадь поверхности вписанного шара равна x^2*pi, площадь поверхности описанного шара равна 4x^2*pi. Чтобы узнать, во сколько раз площадь поверхности шара, описанного вокруг куба больше площади шара, вписанного в тот же куб, нужно площадь поверхности описанного шара разделить на площадь поверхности вписанного шара. Имеем: площадь шара, описанного вокруг куба в четыре раза больше, чем площадь шара, вписанного в этот же куб.