Вычислите радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник высота которого 1

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру: r=S/p. Так как треугольник - равносторонний, то его сторона a находится из уравнения h/a=cos30°, откуда a=h/cos30°=2h/√3=2/√3, где h=1 - высота треугольника. Тогда полупериметр треугольника p=3a/2=3/√3=√3, а его площадь S=1/2*h*a=1/√3 и r=(1/√3)/√3=1/3. Ответ: r=1/3

Центр вписанной в  треугольник окружности лежут на пересечении биссектрис.  Биссектрисы равностороннего треугольника -  ещё его высоты и медианы.  Медианы треугольника пересекаются в отношении 2:1 считая от вершины. ⇒ радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 1/3 его высоты.  Высота по условию равна 1.  r=1/3