Вычислите сумму a^2003+1/a^2003, если a^2-a+1=0

[latex]a^{2003}+\frac{1}{a^{2003}}=?\\ a^2-a+1=0\\ [/latex] [latex]D=1-4*1*1=i\sqrt{3}\\ x_{1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\ x_{2}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\ \\ [/latex] теперь для каждого значения найдем  [latex](\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^{2003}+\frac{1}{(\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^{2003}}\\[/latex] переведем  в тригонометрическую основу  [latex]\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=x+iy\\ x=0.5\\ y=0.5\sqrt{3}\\ \\ r=\sqrt{0.5^2+(0.5\sqrt{3})^2}=1\\ tg \alpha =\frac{y}{x}=\sqrt{3}\\ a=60а\\ z=1*(cos60а+i*sin60а)[/latex] воспользуемся  формулой Муавра  [latex](cos60а+i*sin60а)^{2003}+\frac{1}{(cos60а+i*sin60а)^{2003}}\\ \\ (cos60а+i*sin60а)^{2003}=z^{2003}\\ z^{2003}=cos(2003*60)+i*sin(2003*60)=0.5+0.5\sqrt{3}*i\\ z^{-2003} = \frac{1}{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}=\frac{2}{1+i\sqrt{3}} = \frac{2(1-i\sqrt{3})}{1-i^2*3}=\\ \frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\ a^{2003}+a^{-2003}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}+\frac{1-\sqrt{3}i}{2}=1[/latex] а второй со знаком уже -1 Ответ 1 или -1