Высота и медиана прямоугольного треугольника разделили гипотенузу на части, одна

Отрезок ВМ (точно так же, как и отрезок АМ) не может быть равен полусумме двух других отрезков гипотенузы, так как МН+НА=ВМ и АМ=ВМ(СМ - медиана).  (смотрим рисунок) Следовательно, нас интересует два возможных варианта: МН=(ВМ+НА)/2 (1) и НА=(ВМ+МН)/2 (2). Мы знаем, что катет ВС=√(АВ*ВН) и АС=√(АВ*НА) (вытекает из свойства высоты, проведенной из прямого угла на гипотенузу). Тогда отношение катетов АС/ВС=√[(АВ*НА)/(АВ*ВН)] или АС/ВС=√(НА/ВН). Итак, нам надо найти это отношение. 1). Пусть МН=(ВМ+НА)/2. Но МН=МА-НА или МН=ВМ-НА (так как ВМ=МА). Отсюда (ВМ+НА)/2=ВМ-НА или 2ВМ-2НА=ВМ+НА или ВМ=3НА. Тогда АВ=6НА (АВ=2*ВМ), а ВН=5НА (ВН=АВ-НА). Искомое отношение АС/ВС=√(НА/5НА)=1/√5 или АС/ВС=√5/5. 2). Пусть НА=(ВМ+МН)/2. ВМ+МН=ВС. То есть НА=ВС/2. Искомое отношение АС/ВС=√(ВС/2ВС)=1/√2 или АС/ВС=√2/2. Ответ: отношение катетов может быть равным АС/ВС=√5/5 или АС/ВС=√2/2.