Высшая математика. Интегралы и производные

№2 а) [latex] f'_x (x) = 9 ( \frac{x}{|x|} ( 1 + x^{-2} )^{ -\frac{1}{2} } )'_x = 9 \frac{x}{|x|} x^{-3} ( 1 + x^{-2} )^{ -\frac{3}{2} } = [/latex] [latex] = \frac{9}{x^2|x|( 1 + \frac{1}{x^2} )^{ \frac{3}{2} } } = \frac{9}{ \sqrt{ ( x^2 + 1 )^3 } } [/latex] ; [latex] f'_x ( 2 \sqrt{2} ) = \frac{9}{ \sqrt{ ( ( 2 \sqrt{2} )^2 + 1 )^3 } } = \frac{9}{ \sqrt{ ( 8 + 1 )^3 } } = \frac{9}{ \sqrt{ 3^{ 2 \cdot 3 } } } = \frac{3^2}{3^3} = \frac{1}{3} [/latex] ; б) [latex] f'_x (x) = ( \cos{2x} + \frac{ 2 \cos{2x} \cdot \sin{2x} }{2} )'_x = - 2 \sin{2x} + ( \frac{ \sin{4x} }{2} )'_x = [/latex] [latex] = - 2 \sin{2x} + 2 \cos{4x} = 2 ( \cos{4x} - \sin{2x} ) [/latex] ; [latex] f'_x ( \frac{\pi}{8} ) = 2 ( \cos{ ( 4 \cdot \frac{\pi}{8} ) } - \sin{ ( 2 \cdot \frac{\pi}{8} ) } ) = 2 ( \cos{ \frac{\pi}{2} } - \sin{ \frac{\pi}{4} } ) = 2 ( 0 - \frac{ \sqrt{2} }{2} ) = -\sqrt{2} [/latex] ; О т в е т : a) [latex] f'_x ( 2 \sqrt{2} ) = \frac{1}{3} [/latex] ; б) [latex] f'_x ( \frac{\pi}{8} ) = -\sqrt{2} . [/latex] №4 [latex] y^2 dx = e^x dy [/latex] ; [latex] e^{-x} dx = y^{-2} dy [/latex] ; [latex] \int\limits{ e^{-x} } \, dx = \int\limits{ y^{-2} } \, dy [/latex] ; [latex] -\int\limits{ e^{-x} } \, d(-x) = \frac{1}{-2+1} y^{-2+1} + C [/latex] ; [latex] e^{-x} = y^{-1} + C [/latex] ; [latex] \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y} + C [/latex] ; Подставим частные значения: [latex] (x;y) = (0;1) [/latex] : [latex] \frac{1}{e^0} = \frac{1}{1} + C [/latex] ; [latex] 1 = 1 + C [/latex] ; [latex] C = 0 [/latex] ; Тогда: [latex] \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y} + 0 [/latex] ; [latex] \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y} [/latex] ; О т в е т : [latex] y = e^x . [/latex] №7 странная задача. Вычислим для начала точное значение: [latex] \int\limits^5_0 { ( 3 x^2 + 2 ) } \, dx = ( x ( x^2 + 2 ) ) |^5_0 = 5 ( 5^2 + 2 ) - 0 ( 0^2 + 0 ) = [/latex] [latex] = 5 ( 25 + 2 ) = 5 \cdot 27 = 135 [/latex] ; Теперь приблизительное: [latex] \int\limits^5_0 { ( 3 x^2 + 2 ) } \, dx \approx \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 ( k h - \frac{h}{2} )^2 + 2 ) h ) = [/latex] [latex] = \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 h^2 ( k - \frac{1}{2} )^2 + 2 ) h ) = 3 h^3 \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( k - \frac{1}{2} )^2 + \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} 2h = [/latex] [latex] = 3 h^3 \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( k^2 - k + \frac{1}{4} ) + 2h \cdot 10 = [/latex] [latex] = 3 h^3 ( \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} k^2 - \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} k + \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} (\frac{1}{4} ) ) + 20h [/latex] ; [latex] \Sigma\limits^{k=n}_{k=1} k = \frac{n(n+1)}{2} [/latex] ; [latex] \Sigma\limits^{k=n}_{k=1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/latex] ; [latex] \int\limits^5_0 { 3 x^2 + 2 } \, dx \approx 3 h^3 ( \frac{10(10+1)(2 \cdot 10+1)}{6} - \frac{10(10+1)}{2} + \frac{10}{4} ) + 20h = [/latex] [latex] = 3 h^3 ( \frac{ 5 \cdot 11 \cdot 21 }{3} - 5 \cdot 11 + 2.5 ) + 20h = [/latex] [latex] = 3 h^3 ( 5 \cdot 11 \cdot 7 - 5 \cdot 11 + 2.5 ) + 20h = 3 h^3 ( 5 \cdot 11 ( 7 - 1 ) + 2.5 ) + 20h = [/latex] [latex] = 3 h^3 ( 5 \cdot 11 \cdot 6 + 2.5 ) + 20h = 3 h^3 ( 330 + 2.5 ) + 20h = [/latex] [latex] = 3 \cdot 332.5 h^3 + 20h = 997.5 h^3 + 20h = h ( 997.5 h^2 + 20 ) = [/latex] [latex] = 0.5 ( 997.5 \cdot 0.5^2 + 20 ) = 0.5 ( 249.375 + 20 ) = 0.5 \cdot 269.375 = 134.6875 [/latex] ; О т в е т : [latex] \int\limits^5_0 { 3 x^2 + 2 } \, dx = 135 [/latex] ; При подсчёте этого интеграла численно с шагом [latex] h = 0.5 , [/latex] с значениями функции в равноудалённых от краёв шага точках, получим: [latex] \int\limits^5_0 { 3 x^2 + 2 } \, dx \approx \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 ( k h - \frac{h}{2} )^2 + 2 ) h ) = 134.6875 . [/latex]