Задача на 100 баллов 1) На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень массой M и длиной L. В стержень ударяется шарик массой m, движущийся перпендику- лярно стержню. На каком расстоянии l от середины стержня должен про- из...

Задача на 100 баллов 1) На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень массой M и длиной L. В стержень ударяется шарик массой m, движущийся перпендику- лярно стержню. На каком расстоянии l от середины стержня должен про- изойти удар, чтобы угловая скорость вращения стержня была максималь- ной? Удар считать абсолютно упругим. 2) На гладкой горизонтальной поверхности лежит тонкий однородный стержень длиной L. По одному из концов стержня наносят горизонтальный удар в направлении, перпендикулярном стержню. На какое расстояние S сместится центр масс стержня за время его полного оборота?
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
1) Запишем законы: сохранения испульса ЗСИ, сохранения энергии ЗСЭ и сохранения момента импульса ЗСМИ : mvo = mv + MV     – ЗСИ, где vo, v и V – начальная скорость шарика и конечные скорости шарика и центра масс стержня; mvo²/2 = mv²/2 + MV²/2 + Jω²/2     – ЗСЭ, где ω – угловая скорость вращения стержня с моментом инерции J = ML²/12  ; mrvo = mrv + Jω     – ЗСМИ , где r – расстояние от середины стержня до точки удара; Из споставления ЗСМИ и ЗСМ: MV = Jω/r ; M²V² = J²ω²/r² ; MV² = J²ω²/[Mr²] ; Тогда можно переписать ЗСЭ и ЗСМИ так: m ( vo² – v² ) = Jω² ( 1 + J/[Mr²] ) ;     ЗСЭ * m ( vo – v ) = Jω/r ;     ЗСМИ * Разделим: vo + v = ωr ( 1 + J/[Mr²] ) ;    || * m Сложим с ЗСМИ * : 2mvo = mωr ( 1 + J/[Mr²] ) + Jω/r = ω ( mr ( 1 + J/[Mr²] ) + J/r ) = = ω ( mr + ( 1 + m/M )J/r ) = ω ( mr + (M+m)L²/[12r] ) ; ω(r) = 2vo/[ r + (1+M/m)L²/(12r) ] ; Найдём экстремум ω(r) , решив уравнение: dω/dr = 0 ; dω/dr = 2vo ( (1+M/m)L²/[12r²] – 1 ) / ( r + (1+M/m)L²/[12r] )² = 0 ; Ясно, что при r² < (1+M/m)L²/12    :     ω(r) – растёт, а затем – падает. Итак: r(ωmax) = L/2 √[(1+M/m)/3] ) ; Что верно пока соотношения масс M ≤ 2m, и если M=2m то r(ωmax) = L/2, т.е. шарик при таком соотношени должен попасть в конец стержня. Если же M > 2m, то, пскольку r не может быть больше L/2, то значит, r(ωmax) = L/2 ; ОТВЕТ: Если M ≤ 2m, то r(ωmax) = L/2 √[(1+M/m)/3] ) ; Если M ≥ 2m, то r(ωmax) = L/2 ; 2) Из полученного импульса p легко найти скорость центра масс: p = mv; v = p/m ; Уравнение движения центра масс S(t) = vt = [p/m] t ;     [1] Стержень получает момент импульса относительно центар масс – pL/2, откуда легко найти угловую скорость ω : pL/2 = Jω     – где J = mL²/12 – момент инерции стержня относительно центра масс ; ω = pL/[2J] = 6p/[mL] ; Уравнение вращения φ(t) = ωt = [6p/mL] t ;     [2] Делим [1] на [2] и получаем: S(t)/φ(t) = [p/m]/[6p/mL] = L/6 ; S(φ) = Lφ/6 ; При полном обороте φ = 2π ; S(2π) = πL/3 ; ОТВЕТ: S(2π) = [π/3] L .
Не нашли ответ?
Ответить на вопрос
Похожие вопросы