Задача по физике. Упругое нецентральное соударение шаров. Бильярдный шар массой m лежит неподвижно на столе. Об этот шар ударяется другой шар массой M, со скоростью параллельной к краю стола. Какое должно быть расстояние между ...

Либо я что-то не так понимаю, либо задачка совсем непростая.  Пусть [latex]d[/latex] - прицельный параметр (его мы и будем искать потом). Легко видеть, что направление скорости мишени после удара не зависит от скорости налетающего шара и составляет угол [latex]\alpha[/latex] с горизонтом такой, что его синус [latex]\sin \alpha=\dfrac{d}{2R}[/latex], где [latex]R[/latex] - радиус каждого из шаров. Пишем теперь законы сохранения: энергии:  [latex]\mathrm{(1)\ \ }V_0^2=\mu v^2+V^2;[/latex] импульса:  [latex]\mathrm{(2)\ \ } V_0=\mu v\cos\alpha+\dfrac{V}{2};\\ \mathrm{(3)\ \ } V\dfrac{\sqrt3}{2}=\mu v\sin\alpha.[/latex] (Здесь принято обозначение [latex]\mu\equiv\dfrac mM[/latex].) Теперь делаем такой трюк: выразим из уравнений [latex](2)[/latex] и [latex](3)[/latex] члены, содержащие выражения с фактором [latex]\mu v[/latex], возведем их в квадрат и сложим. Тогда около этого фактора после сложения окажется тригонометрическая единица. Так мы избавляемся от функции угла. [latex]\mu^2v^2=V_0^2-V_0V+V^2[/latex] Отсюда возьмем [latex]\mu v^2[/latex] и подставим эту конструкцию в [latex](1)[/latex]. [latex]\mu V_0^2=V_0^2-V_0V+V^2+\mu V^2[/latex]. Это квадратное уравнение относительно [latex]\dfrac{V_0}{V}[/latex]: [latex]\left(\dfrac{V_0}{V}\right)^2-\dfrac{1}{1-\mu}\ \left(\dfrac{V_0}{V}\right)+\dfrac{1+\mu}{1-\mu}=0[/latex]. Его решение имеет вид: [latex]\boxed{\dfrac{V_0}{V}=\dfrac{1\pm\sqrt{4\mu^2-3}}{1-\mu}}\ \ \mathrm{(*)}[/latex]. Теперь вспоминаем про функцию угла, содержащуюся в уравнениях [latex](2)[/latex] и [latex](3)[/latex]. Опять выражаем из них выражения с фактором [latex]\mu v[/latex], но в этот раз мы разделим одно на второе (косинус на синус, например). Получим: [latex]V_0=V\dfrac{\sqrt3}{2}\cot\alpha+\dfrac V2.[/latex] Другими словами,  [latex]\boxed{\dfrac{V_0}{V}=\dfrac{\sqrt3 \cot\alpha+1}{2}}\ \ \mathrm{(**)}[/latex]. Сравнивая [latex]\mathrm{(*)}[/latex] и [latex]\mathrm{(**)}[/latex], находим одно тривиальное решение, отвечающее отсутствию удара вообще и одно нетривиальное, отвечающее равенству правых частей. Это равенство представляет из себя некое уравнение на угол. Теперь мы вспомним про самое первое уравнение, написанное в решении. Из него легко получить [latex]\cot\alpha=\sqrt{\left(\dfrac{2R}{d}\right)^2-1}.[/latex] Принимая это во внимание и разрешая получившееся из [latex]\mathrm{(*)}[/latex] и [latex]\mathrm{(**)}[/latex] уравнение относительно прицельного параметра, получим окончательный ответ: [latex]d=2R\left\{\dfrac13\left[1+\left(-1+2\dfrac{1\pm\sqrt{4\mu^2-3}}{1-\mu}\right)\right]^2\right\}^{-1/2}.[/latex] Отсюда, кстати, видно условие на отношение масс: оно должно быть таким, чтобы корень был неотрицательным, т.е., необходимое условие для того, чтобы описанное в условии движение могло иметь место в принципе, выглядит следующим образом: [latex]\mu \geq \dfrac{\sqrt3}{2}[/latex].