Задачки........1) Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найти объем пирамиды.2)В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет...

1) Проекция вершины на основание есть радиус вписанной окружности. Из прямоугольного треугольника образованным апофемой и радиусом        [latex]4=\frac{H}{sin60}\\ H=2\sqrt{3}\\ r=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16-12}=2\\ r=\frac{\sqrt{3}a}{6}=2\\ S=3*\sqrt{3}*4=12\sqrt{3}\\ V=\frac{SH}{3}=\frac{2\sqrt{3}*12\sqrt{3}}{3}=24[/latex] 2)Так как у нас призма прямоугольная пусть основание равна [latex]ABC[/latex] , то тогда гипотенуза треугольника пусть [latex]AC[/latex] будет являться диаметром основания цилиндра (это следствие из известной теоремы что у прямоугольного треугольника гипотенуза будет являться диаметром). Тогда диаметр будет равняться [latex]d=AC=\frac{2a}{sin30}=4a\\ [/latex]     . По условию большая диагональ грани это есть грань гипотенузы. Тогда если один угол равен 45 гр , то треугольника образованный диагональю и высотой цилиндра  является равнобедренным  , следовательно    [latex]4a=H[/latex] где [latex]H[/latex] - высота      .   Тогда площадь основания равна  [latex]S=\pi*(2a)^2=4a^2*\pi\\ V=SH=4a^2*\pi*4a=16a^3\pi[/latex]