Задание № 7: В окружность вписан равносторонний треугольник ABCABC. На дуге ACAC взята произвольная точка MM. Длины отрезков MAMA и MBMB соответственно равны 22 и 1010. Найдите длину MCMC.

Теорема косинусов для треугольника AМC AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC   Теорема косинусов для треугольника BМC BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC   AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2   AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC   АМ и ВM знаем 22^2-2*22*CM*cosAMC=1010^2-2*1010*CM*cosBMC 484-44*CM*cosAMC=1020100-2020*CM*cosBMC   Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник. Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120   484-44*CM*cos120=1020100-2020*CM*cos60 484-44*CM*(-1/2)=1020100-2020*CM*1/2 484+22*CM=1020100-1010*CM 988*CM=1019616 СМ=1032   Ответ: 1032