Задание: докажите,что..[latex]sin ^{3} \alpha (1+ctg \alpha )+cos ^{3} \alpha (1+ tg \alpha )=sin \alpha +cos \alpha [/latex]

sin³α(1+ctgα)+cos³α(1+tgα) = =sin³α(1 + cosα) +cos³α(1 + sinα) =                  sinα                    cosα =sin³α(sinα + cosα) + cos³α (cosα + sinα) =                  sinα                            cosα = sin²α (sinα + cosα) + cos²α (cosα + sinα) = =(sinα + cosα) (sin²α + cos²α) =  = (sinα + cosα) * 1 = = sinα + cosα sinα + cosα = sinα + cosα, что и требовалось доказать.

sin³α(1+ctqα) +cos³α(1+tqα) = sin³α+cos³α +sin²αcosα +cos²αsinα = sin³α+cos³α +3sin²αcosα +3cos²αsinα -2(sin²αcosα +cos²αsinα) = (sincα+cosα)³ -2sinαcosα(sinα+cosα) =(sinα+cosα) ((sinα+cosα)² -2sinαcosα) =  (sinα+cosα) (sin²α+2sinαcosα+cos²α -2sinαcosα) =(sinα+cosα) (sin²α+cos²α)= sinα+cosα . ********************************************* sin³α+cos³α +sin²αcosα +cos²αsinα =(sinα+cosα)³ -3sinαcosα(sinα+cosα) +sinαcosα(sinα+cosα) =  (sinα+cosα)³ -2sinαcosα(sinα +cosα) =(sinα +cosα)((sinα +cosα)² -2sinαcosα) = ...