Здравствуйте. помогите пожалуйста найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию (1+x^2)y'+y=y^2arctgx y(0)=1

Это уравнение является уравнением Бернулли. Очевидно, что функция [latex]y = 0[/latex] является решением уравнения. Разделим обе части на [latex]y^2[/latex], предполагая, что [latex]y \neq 0[/latex]: [latex](1+x^2) \frac{y'}{y^2} + \frac{1}{y} = arctgx[/latex]. Сделаем замену [latex] \frac{1}{y} = z[/latex], тогда [latex]z' = -\frac{y'}{y^2} [/latex] и уравнение принимает вид [latex]-(1+x^2)z' + z = arctgx[/latex]. Получили линейное неоднородное уравнение. Решим его методом вариации постоянной. Для этого найдем решение соответствующего однородного уравнения: [latex]-(1+x^2)z' + z = 0 \Leftrightarrow (1+x^2)z' - z = 0[/latex]. Это уравнение с разделяющимися переменными. [latex](1+x^2) \frac{dz}{dx} - z = 0 \\ \frac{dz}{z} = \frac{dx}{1+x^2} \\ \int \frac{dz}{z} = \int \frac{dx}{1+x^2} \\ lnz = arctgx + C \\ z = Ce^{arctgx}[/latex]. Заменим постоянную C новой неизвестной функцией C(x) и в таком виде будем искать решение неоднородного уравнения: [latex]z = C(x)e^{arctgx} \\ (1+x^2)(C(x)e^{arctgx})' + C(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ (1+x^2)C'(x)e^{arctgx} + C(x)e^{arctgx} - C(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ (1+x^2)C'(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ C'(x)=-\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2} \\ C(x) = -\int\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx[/latex]. Сделаем замену в интеграле: [latex]t = arctgx\\ C(x) =-\int\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx = -\int te^{-t}dt[/latex]. Интеграл легко берется по частям (оставляю на вас): [latex]C(x) = (t+1)e^{-t} + C = (arctgx+1)e^{-arctgx} + C[/latex], где C - произвольная постоянная. Таким образом,  [latex]z = C(x)e^{arctgx} = ((arctgx+1)e^{-arctgx} + C)e^{arctgx} = Ce^{arctgx} [/latex][latex]+arctgx + 1[/latex]. Вспоминаем, что [latex] \frac{1}{y} = z[/latex], тогда  [latex]y = \frac{1}{Ce^{arctgx}+arctgx+1} [/latex] - общее решение. Теперь воспользуемся начальным условием y(0) = 1: [latex]\frac{1}{Ce^{arctgx} + arctgx + 1} = 1\\ \frac{1}{Ce^{arctg0} + arctg0 + 1} = 1 \\ C = 0[/latex]. Значит, искомая функция есть  [latex]y = \frac{1}{arctgx + 1}[/latex].