Дипломная работа: Алгебра октав

,

то сопряженная ей октава будет иметь вид:

.

§1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

Определение. Алгеброй октав называется алгебра , если:

I. Алгебра - альтернативная линейная алгебра;

II. Тело кватернионов есть подтело алгебры ;

III. е² = -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k;

IV.Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры , содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй .

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1 . Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение KxK= {(u,v)|uK vK}, где К - множество кватернионов. По определению, (u₁ ;v₁ ) = (u₂ ;v₂ ) u₁ =u₂ v₁ = v_2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u₁ ;v₁ ) + (u₂ ;v₂ ) = (u₁ +u₂ ; v₁ + v₂ );

(u₁ ;v₁ ) * (u₂ ;v₂ ) = (u₁ u₂ - v₂ v₁ ; v₂ u₁ + v₁ ū₂ )_.

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.

1) ((u₁ ;v₁ ) + (u₂ ;v₂ )) + (u₃ ;v₃ ) = (u₁ +u₂ ; v₁ + v₂ ) + (u₃ ; v₃ ) = ((u₁ +u₂ ) + u₃ ; (v₁ + v₂ ) + v₃ ) = (u₁ +(u₂ + u₃ ); v₁ + (v₂ + v₃ )) = ((u₁ ; v₁ ) + (u₂ + u₃ ;v₂ + v₃ ) = (u₁ ; v₁ ) + ((u₂ ; v₂ ) + (u₃ ; v₃ )),

т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u₁ ; v₁ ) + (u₂ ; v₂ ) = (u₁ +u₂ ; v₁ + v₂ ) = (u₂ +u₁ ; v₂ + v₁ ) = (u₂ ; v₂ ) + (u₁ ; v₁ ),

т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v;x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0_U .

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.