Дипломная работа: Алгебра октав
8) Покажем, что имеет место равенство
((u1 ; v1 ) 
(u2 ; v2 )) (u2 ; v2 ) = (u1 ; v1 ) ((u2 ; v2 ) (u2 ; v2 ))
Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:
((u1 ; v1 ) (u2 ; v2 )) (u2 ; v2 ) = (u1 u2 - 
2 v1 ; v2 u1 + v1 ū2 ) (u2 ; v2 ) = ((u1 u2 - 2 v1 )u2 -2 (v2 u1 + v1 ū2 );
v2 (u1 u2 - 2 v1 )- (v2 u1 + v1 ū2 ) ū2 ) = (u1 u2 u2 - 2 v1 u2 -2 v2 u1 -2 v1 ū2 ; v2 u1 u2 - v2 2 v1 - v2 u1 ū2 - v1
) = (u1 u2 u2 - 2 v1 (u2 + ū2 )– |v2 |2 u1 ; v2 u1 (u2 + ū2 )- v1 - |v2 |2 v1 ) .
Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:
(u1 ; v1 ) ((u2 ; v2 ) (u2 ; v2 )) = (u1 ; v1 ) (u2 u2 - 2 v2 ; v2 u2 + v2 ū2 ) = (u1 (u2 u2 - 2 v2 ) –(
)v1 ;
v1 (
) + (v2 u2 + v2 ū2 ) u1 ) = (u1 u2 u2 - u1 2 v2 –
v1 – u2 2 v1 ;
v1 
- v1 2 v2 + v2 u2 u1 + v2 ū2 u1 ) = (u1 u2 u2 - (u2 + ū2 ) 2 v1 – u1 |v2 |2 ; (u2 + ū2 )v2 u1 + v1 - v1 |v2 |2 ).
Здесь следует учитывать, что 2 v2 =v2 2 = |v2 |2 и u2 + ū2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.
9) Покажем, что имеет место равенство
(u2 ; v2 ) ((u2 ; v2 ) (u1 ; v1 )) = ((u2 ; v2 ) (u2 ; v2 )) (u1 ; v1 ).
Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:
(u2 ; v2 ) ((u2 ; v2 ) (u1 ; v1 )) = (u2 ; v2 ) (u2 u1 - 1 v2 ; v1 u2 + v2 ū1 ) = (u2 (u1 u2 - 2 v1 ) – 
v2 ;
(v1 u2 - v2 ū1 ) u2 + v2 
) = (u2 u1 u2 - u2 1 v2 –
v2 - u1 2 v2 ; v1 u2 u2 + v2 ū1 u2 + v2 
- v2 2 v1 ) = (u2 u1 u2 - u1 |v2 |2 - (u2 + ū2 )1 v2 ; v1 u2 u2 + v2 ū1 (u2 + ū2 )- |v2 |2 v1 ).
Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:
((u2 ; v2 ) (u2 ; v2 )) (u1 ; v1 ) = (u2 u2 - 2 v2 ; v2 u2 + v2 ū2 ) (u1 ; v1 ) = ((u2 u2 - 2 v2 ) u1 - 1 (v2 u2 + v2 ū2 );
v1 (u2 u2 - 2 v2 ) + (v2 u2 + v2 ū2 ) ū1 ) = (u2 u2 u1 - 2 v2 u1 - 1 v2 u2 - 1 v2 ū2 ; v1 u2 u2 - v1 2 v2 + v2 u2 ū1 + v2
) = u2 u2 u1 - 1 v2 (u2 + ū2 ) - |v2 |2 u1 ; v1 u2 u2 - v1 |v2 |2 + v2 ū1 (u2 + ū2 ).
Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.
Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в 
альтернативно.
10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в 
решим уравнение:
(u; v) (x; y) = (u; v),
в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u≠ 0. Тогда:
(u; v) (х; у) = (u; v) 
(хu - y; уи + v
) = (и; v) 
Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1 =
,откуда:
(u-1 u) x = u-1 
v+ u-1 ux = v 
=1+ 
уи.
Подставим полученное значение во второе уравнение системы:
v(1+ 
уи) + уи = vv+ 
vуи+ уи = v
уи+уи=0 (+1)уи=0,
откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда = 0 и из первого уравнения системы