Дипломная работа: Алгебра октав

((u₁ ; v₁ ) + (u₂ ; v₂ )) (u₃ ; v₃ ) = (u₁ +u₂ ; v₁ + v₂ ) (u₃ ; v₃ ) = ((u₁ +u₂ ) u₃ - ₃ (v₁ + v₂ ); v₃ (u₁ +u₂ )+ (v₁ + v₂ )ū₃ ) = (u₁ u₃ +u₂ u₃ -₃ v₁ - ₃ v₂ ; v₃ u₁ + v₃ u₂ + v₁ ū₃ + v₂ ū₃ ).

С другой стороны:

(u₁ ; v₁ ) (u₃ ; v₃ ) + (u₂ ; v₂ ) (u₃ ; v₃ ) = (u₁ u₃ -₃ v₁ ; v₃ u₁ + v₁ ū₃ )+(u₂ u₃ -₃ v₂ ; v₃ u₂ + v₂ ū₃ )=(u₁ u₃ -₃ v₁ + u₂ u₃ -₃ v₂ ; v₃ u₁ + v₁ ū₃ + v₃ u₂ + v₂ ū₃ ).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u₁ ; v₁ ) + (u₂ ; v₂ )) (u₃ ; v₃ ) = (u₁ ; v₁ ) (u₃ ; v₃ ) + (u₂ ; v₂ ) (u₃ ; v₃ ),

т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u₃ ; v₃ ) ((u₁ ; v₁ ) + (u₂ ; v₂ )) = (u₃ ; v₃ ) (u₂ ; v₂ ) + (u₃ ; v₃ ) (u₁ ; v₁ ).

Действительно, с одной стороны:

(u₃ ; v₃ ) ((u₁ ; v₁ ) + (u₂ ;v₂ )) = (u₃ ; v₃ ) v(u₂ + u₁ ; v₁ + v₂ ) = (u₃ (u₁ +u₂ ); ()v₃ ;

(v₁ + v₂ )u₃ + v₃ ())= (u₃ u₁ +u₃ u₂ -₁ v₃ - ₂ v₃ ; v₁ u₃ +u₂ u₃ + v₃ ū₁ + v₃ ū₂ );

сдругойстороны:

(u₃ ; v₃ ) (u₁ ; v₁ ) +(u₃ ; v₃ ) (u₂ ; v₂ ) = (u₃ u₁ - ₁ v₃ ;v₁ u₃ + v₃ ū₁ )+ (u₃ u₂ - ₂ v₃ ;v₂ u₃ + v₃ ū₂ )= (u₃ u₁ -₁ v₁ +u₃ u₂ -₂ v₃ ; v₁ u₃ + v₃ ū₁ +v₂ u₃ + v₃ ū₂ ).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u₁ ; v₁ ) (u₂ ; v₂ )) (u₃ ; v₃ ) = (u₁ u₂ -₂ v₁ ; v₂ u₁ + v₁ ū₂ ) (u₃ ; v₃ ) = ((u₁ u₂ - ₂ v₁ )u₃ -₃ (v₂ u₁ + v₁ ū₂ );

v₃ (u₁ u₂ - ₂ v₁ )- (v₂ u₁ + v₁ ū₂ ) ū₃ ) = (u₁ u₂ u₃ - ₂ v₁ u₃ -₃ v₂ u₁ -₃ v₁ ū₂ ; v₃ u₁ u₂ - v_{3 2} v₁ - v₂ u₁ ū₃ - v₁ ū₂ ū₃ ).

С другой стороны:

(u₁ ; v₁ ) ((u₂ ; v₂ ) (u₃ ; v₃ )) = (u₁ ; v₁ ) (u₂ u₃ - ₃ v₂ ; v₃ u₂ + v₂ ū₃ ) = (u₁ (u₂ u₃ - ₃ v₂ ) – v₁ ;

v₁ + (v₃ u₂ + v₂ ū₃ ) u₁ ) = (u₁ u₂ u₃ - u_{1 3} v₂ –v₁ - u_{3 2} v₁ ; v₁ - v_{1 2} v₃ + v₃ u₂ u₁ + v₂ ū₃ u₁ ).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u₁ ; v₁ ) (u₂ ; v₂ )) (u₃ ; v₃ ) ≠ (u₁ ; v₁ ) ((u₂ ; v₂ ) (u₃ ; v₃ ))

т.е. умножение в не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u₁ ;v₁ ) (u₂ ;v₂ ) = (u₁ u₂ - ₂ v₁ ; v₂ u₁ + v₁ ū₂ );

(u₂ ;v₂ ) (u₁ ;v₁ ) =(u₂ u₁ - ₁ v₂ ; v₁ u₂ + v₂ ū₁ ).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u₁ ;v₁ ) (u₂ ;v₂ ) ≠ (u₂ ;v₂ ) (u₁ ;v₁ )