Дипломная работа: Алгебра октав

(0; 1)² = (0; 1) (0; 1) = (0 0 - 1; 1 0+1 ) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.

С другой стороны:

(0; i) ≠ (i; 0) = i; (0: 1) ≠ (j; 0) = j; (0; k) ≠ (k; 0) = k.

Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.

Из проверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v) , представим в виде u + ve, где и, vє К и е² = -1. Действительно,

(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = и + ve.

Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть подалгебра алгебры , содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U^/ К х К. Если мы покажем, что К х KU^/ , то тем самым совпадает с . Так как каждый элемент алгебры имеет вид u+ve, где и, v К. е² = - 1, то u + vjU^/ , так как и, v К U^/ , eU^/ и - альтернативная алгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х KU^/ , откуда U^/ = К х Kи, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.

Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.

Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v К. Пусть

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d R.

Тогда,

и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).

Вычислим

ie = (i; 0) (0; 1) = (i 0 - 0; 1 i + 0 ) = (0; i);

je = (j; 0) (0; 1) = (j 0 - 0; 1 j + 0 ) = (0; j);

ke = (k; 0) (0; 1) = (k 0 - 0; 1 k + 0 ) = (0; k),

откуда следует, что ie, je, keотличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.

Покажем, что (ie)² = (je)² = (ke)² = -1. Действительно,

(ie)² = (i; 0) (i; 0) = (i i - 0; 0 i + 0 ī) = (-1; 0) = -1;

(je)² = (j; 0) (j; 0) = (j j -

«

1

2

3

4

5

6

7

»

• >>> Скачать <<<