Дипломная работа: Алгебра октав

v ₂ (yū + + ū) + yū = 0 (|u|² + |v|² ) yū = - vū

откуда при ū ≠ 0 следует, что у = - . и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu - = 1,

откуда следует, что

xu= 1 - = .

Умножим это равенство справа на u^-1 =, тогда

x = * =

Итак, пара

(x; y) = ; -

является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в . Обозначим его (u, v)^-1 .

Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в .

Из 1)-11) следует, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.

Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.

Пусть U₁ = {(u; 0)| uK}. Ясно, что U₁ KxK.

Покажем, что множество U₁ замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:

(u₁ , 0) + (u₂ , 0) = (u₁ + u₂ : 0 + 0) = (u₁ + u₂ : 0) U₁ ;

(u₁ , 0) (u₂ , 0) = (u₁ u₂ – 0; 0 u₁ + 0 ū₂ ) = (u₁ u₂ : 0) U₁ .

Далее:

- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) U₁ ;

(u; 0)^-1 = = U_1,

откуда следует, что есть под тело алгебры ,.

Покажем, что изоморфно телу кватернионов . Для этого рассмотрим отображение f : U₁ → Kтакое, что ((u; 0) є U₁ ) f((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:

f ((u₁ ; 0) + (u₂ ; 0)) = f ((u₁ + u₂ : 0)) = u₁ + u₂ = f ((u₁ ; 0)) + f ((u₂ ; 0));

f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));

f ((u₁ ; 0) (u₂ ; 0)) = f ((u₁ u₂ : 0)) = u₁ u₂ = f ((u₁ ; 0)) f ((u₂ ; 0));

f ((u; 0)^-1 ) = f ((; 0)) = ; 0 = u^-1 = f ((u; 0)) ^-1 ,

откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры в тело кватернионов. Это отображение биективно, так как

f ((u₁ ; 0)) = f ((u₂ ; 0)) u₁ = u₂ (и₁ ; 0) = (и₂ ; 0) и f (U₁ ) = К.

Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры , то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры .