Дипломная работа: Алгебра октав

В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (u; v),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0_U и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:

(х; у) (и; v) = (и: v) (хи - y; vх - уū) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1 =, откуда:

x(u u^-1 ) = y+ u*u^-1 x = 1+ ₂ yū,

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v(1+ ₂ yū) + уū= vv + ₂ vyū + уū= vyū+ уū= 0 (+ 1)уū =0,

откуда при u≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu= и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в . Обозначим (1; 0) = 1_U ,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:

(u; v) (х: у) = (1; 0) (их - v; уи+ v) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1 =₂ , откуда:

(u^-1 u) x = u^-1 v + u^-1 x =₂ +₂ v = ₂ + ₂ yu.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v + + уи= 0 ₂ + ₂ vyu + уи= 0 (|u|² + |v|² ) yu = - vu (|u|² + |v|² ) y = - v,

откуда

у = - .

Тогда из второго уравнения системы

v- u =0v - =0 = x= .

Итак, пара

(x; y) = ; -

является правым обратным элементом для элемента (u; v) в .

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (1; 0),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:

(х; у) (u; v) = (1; 0) (xu - y; vx + yū) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1 =₂ откуда:

x (uu^-1 ) = y₂ + ₂ x = ₂ (yū + ū).