Дипломная работа: Алгебраические системы замыканий

Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.

Определение 1. Пусть L – непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение – отношение порядка . Множество L – упорядоченное множество .

Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью .

Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.

В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Определение 4. Пусть A – произвольное множество и B (A ) – его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A ), или системы подмножеств множества A . Система D подмножеств множества A называется системой замыканий , если само множество A принадлежит D и система D замкнута относительно пересечений, то есть

∩Y D для любой непустой подсистемы Y D.

Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A ), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A ).

Одним из примеров системы замыканий является следующий:

Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G .

Введем ещё одно важное понятие – понятие оператора замыкания на множестве.

Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение  множества B (A ) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:

J. 1. X (X );

J. 2. Если , то (X )(Y );

J. 3. (X ) = (X )

для всех X , Y B (A ).

Для каждой системы замыканий Dна множестве A можно определить оператор замыкания  равенством

(X ) = ∩{Y D | YX } для всех XA .

Отметим, что группа аксиом J. 1 – J. 3 является независимой. Покажем это.

Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.

Отображение , при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a , b , c }, опишем оператор  следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:

, A A ;

{a }{a , b }, {b }A , {c }{b , c };

{a , b }A , {a , c }A , {b , c }A .

Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как (a ) = A ≠{a , b } = (a ).

Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a , b , c }. Отображение зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A :

, A A ;

{a }A , {b }A , {c }A ;

{a , b }{a , b }, {a , c }{a , c }, {b , c }{b , c }.