Дипломная работа: Алгебраические системы замыканий

∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i) (ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii) (i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲

Предложение 3 (лемма Цорна ). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент ba , являющийся максимальным в A .

Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальностиХаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.

Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания

В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.

Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания  на A по правилу

(X ) = ∩ {Y D | YX }.

Обратно , каждый оператор замыкания  на A определяет систему замыканий

D = {X A | (X ) = X }.

Доказательство:

∆ 1) Пусть дана система замыканий D и оператор , определенный по правилу (X ) = ∩ {Y D | YX }. Докажем, что  – оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 – J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 – 2 по определению. По условию, D – система замыканий. Тогда

(X ) = XX D, (1)

так как (X )D, то отсюда вытекает J. 3.

2) Обратно, пусть задан оператор замыкания  (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть

D = {X A | (X ) = X }. (2)

Докажем, что D – система замыканий. Если (X_i )_{i I} – произвольное семейство в D и ∩X_i = X , то XX_i ; следовательно, по J. 1. (X )(X_i ) = X_i для всех i , и поэтому

(X )∩ X_i = X .

Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X ) = X , то есть X D. Таким образом, с помощью  мы построили систему замыканий D.

3) Покажем, что соответствие D взаимно однозначно.

Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий,  – оператор, определенный равенством (X ) = ∩{Y D | YX } для всех XA , и D ' – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2), а  ' – оператор, определенный системой Dпо формуле (X ) = ∩{Y D | YX }. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором  ' , и, следовательно,

(X ) = X ' (X ) = X . (3)

В силу J. 3, (X ) = (X ); поэтому из (3) вытекает, что  ' (X ) = (X ). Но X (X ) и, применяя  ' получаем  ' (X ) ' (X ) = (X ), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲

Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.

На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A )) для произвольной полной решётки L .

Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A , а (X ) называется замыканием множества X в A ((X ) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (X_i )_{i I} в D, то множество ∩X_i будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах X_i , а ∩{Y D | YX_i для всех iI } – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества X_i .

§3. Алгебраические системы замыканий

Начнем с понятия алгебраической операции.

Пусть A – универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет определённую арность n , nN {0}.

Для любого натурального n n -арная операция ω – это отображение из Aⁿ в A , то есть каждой упорядоченной n -ке {a ₁ ; …; a_n }Aⁿ операция ω ставит в соответствие однозначно определённый элемент ω(a ₁ ; …; a_n ) из A .

В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).