Дипломная работа: Алгебраические системы замыканий

Тогда пара (φ , ψ ) называется соответствием Галуа между упорядоченными множествами M и M '.

Данное определение наиболее общее и формальное.

Рассмотрим теперь более конкретное задание соответствия Галуа, переобозначив отображения φ и ψ одинаково – символом ^* . Но при этом будем иметь в виду, что эти отображения всё-таки разные.

Пусть A и B – некоторые множества и Ф – соответствие из A в B , то есть подмножество прямого произведения AB . Для любого подмножества X множества A определим подмножество X ^* множества B равенством

X ^* = {y B | (x , y ) Ф для всех x X }

и аналогично для любого подмножества Y множества B определим подмножество Y ^* множества A равенством

Y ^* = {x A | (x , y ) Ф для всех y Y }.

Таким образом, имеем отображения

XX ^* , YY ^* (5)

множеств B (A ), B (B ) друг в друга, обладающие следующими свойствами:

если X ₁ X ₂ , то X ₁ ^* X ₂ ^* ; (6)

если Y ₁ Y ₂ , то Y ₁ ^* Y ₂ ^* ;

XX ^** , YY ^** ; (7)

X ^*** = X ^* , Y ^*** = Y ^* . (8)

Условия (6) и (7) вытекают непосредственно из определений; если (6) применить к (7), получаем X ^* X ^*** , в то время как (7), примененное к X ^* , дает обратное неравенство. Таким образом, любые отображения (5), удовлетворяющие (6) и (7), удовлетворяют также (8).

Пара отображений (5) между булеанами B (A ) и B (B ) с отношением включения , или в более общем случае между любыми упорядоченными множествами, называется соответствием Галуа , если выполняются условия (6), (7) (и, следовательно, (8)).

Приведём наиболее интересные примеры соответствий Галуа.

Пример 4.1: Пусть R – коммутативное кольцо с единицей. Определим соответствие в R правилом xy . Это соответствие устанавливает, в частности, соответствие Галуа между простыми идеалами кольца R и некоторыми мультипликативно замкнутыми подмножествами кольца R .

Идеал P кольца R назовём простым , если для a , b R : a ∙b P a P или b P .

Возьмем простой идеал P кольца R . Поставим ему в соответствие множество P ^* = {yR : xy для всех xP } = R \P – замкнутое относительно умножения.

Возьмем мультипликативно замкнутое подмножество Y. Поставим ему в соответствие множество Y ^* = {xR : xy для всех y Y} = R \Y – простой идеал.

Покажем выполнимость свойств.

Если P ₁ P ₂ , то R \P ₁ R \P ₂ − очевидно, так как R \P ₁ является дополнением к P ₁ , а R \P ₂ – дополнением к P ₂ . Аналогично для Y ₁ Y ₂ .

Возьмем подмножество P из множества простых идеалов R . Поставим ему в соответствие множество P ^* = R \P , а P ^* поставим в соответствие P ^** = R \(R \P ) = P P P ^** .

Аналогично доказываются эти свойства для Y ₁ Y ₂ .

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.2: В кольце A каждому его подмножеству X отвечает (левый) аннулятор, состоящий из тех элементов aA , для которых a ∙x = 0 для каждого x из X :

Ann Х = {aA |xX a ∙x = 0}.

Для подмножества X множества A определим подмножество X ^* множества A равенством