Дипломная работа: Алгебраические системы замыканий

Если дана универсальная алгебра A с множеством алгебраических операций Ω, то подмножество B A называется подалгеброй алгебры A , если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ωΩ, n 1, и любых а ₁ , а ₂ , …, а_п B должно быть

ω(а ₁ , а ₂ ,…, а_п )B .

С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B .

Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A , если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.

Отсюда следует, что если X – непустое подмножество алгебры A , то в A существует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X . То есть существует наименьшая подалгебра в A , содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A , содержащих X . Обозначим её через и назовём подалгеброй, порожденной множеством X .

Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Ω алгебры не содержит 0-арных операций.

Заметим, что система S (А ) всех подалгебр алгебры A является алгебраической системой замыканий , то есть соответствующий оператор замыкания X является алгебраическим.

Очевидно, что соответствие X является оператором замыкания. Проверим, является ли он алгебраическим.

Возьмём a , тогда a будет принадлежать и , где – конечное подмножество множества X , так как элемент a получается путём применения конечного числа конечноместных n -арных операций ωΩ.

Справедливо и обратное утверждение:

Если D– произвольная алгебраическая система замыканий на множестве A , то для подходящего набора алгебраических операций Ω и соответствующей структуры универсальной алгебры на A , имеем S (A ) = D.

Для доказательства обозначим через (X ) оператор замыкания для алгебраической системы замыканий D на множестве A . Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n -ке a ₁ , …, a_n A , где n N , и произвольному элементу b ({a ₁ , …, a_n }) поставим в соответствие свою n -арную операцию ω, определенную следующим правилом:

ω(x ₁ , …, x_n ) = (4)

Это определяет структуру универсальной алгебры на A , где для каждого натурального числа n операции из Ω заданы формулой (4). Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A , если A бесконечно.

Пусть _Ω (X ) = – оператор замыкания, соответствующий системе S (A ) подалгебр универсальной алгебры A . Проверим, что (X ) = _Ω (X ).

Пусть X A и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c ₁ , …, c_m }. Тогда (X )_Ω (X ) по определению (4) алгебраических операций ω.

C другой стороны, так как (X ) = (X ), то для любой n -ки a ₁ , …, a_n (X ) и для любой n -арной операции ωΩ ω(a ₁ , …, a_n )({a ₁ , …, a_n })(X ) = (X ). Поэтому (X ) является подалгеброй алгебры и, значит, _Ω (X )(X ).

Пусть теперь X – произвольное подмножество множества A , тогда, так как оба оператора замыкания (X ) и _Ω (X ) – алгебраические (первый по предположению, а второй в силу доказанного выше), имеем

(X ) = (X ') = _Ω (X ') = _Ω (X ),

где X ' пробегает конечные подмножества множества X .

Итак, доказан следующий результат:

Теорема 2. Система S (A ) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий . Обратно , если дана алгебраическая система замыканий Dна множестве A , то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A , что S (A ) = D.

Полученный выше результат можно использовать при построении оператора замыкания_Ω (X ), соответствующего системе S (A ) подалгебр универсальной алгебры A .

Отметим, что примеры 1 и 3 дают алгебраические системы замыканий, а система замкнутых множеств топологического пространства (пример 2), как правило, не алгебраическая.

§4. Соответствия Галуа

Соответствия Галуа могут определятся разными взаимосвязями, имеющимися между различными понятиями. Нам будет наиболее интересен тот факт, что соответствия Галуа являются одним из наиболее важных примеров систем замыканий.

Для начала сформулируем понятие соответствия Галуа.

Пусть M и M ' упорядоченные множества, в которых отношение порядка обозначаются одинаково . И пусть указаны отображения
φ : M M ' и ψ : M ' M , удовлетворяющие (для любых a , b M , a ', b 'M ') следующим требованиям:

a) если ab , то aφbφ ,

еслиa 'b ', тоa 'ψ b 'ψ ,