Дипломная работа: Алгебраические системы замыканий

Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 – J. 3 будет независима.

Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.

Определение 6. Оператор замыкания  на множестве A называется алгебраическим , если для любых XA и a A

а (X ) влечет a (F )

для некоторого конечного подмножества F множества X .

С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.

Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической , если соответствующий оператор замыкания  является алгебраическим, то есть для любого X A

a { D D : X D} влечёт a { D D : F D}

для некоторого конечного F X .

Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.

Пример 1.2: Пусть – топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X [X ], где [X ] – замыкание множества XA . Покажем, что – оператор замыкания на множестве A .

Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 – J. 3.

1) ЕслиXY , то [ X ] [ Y ] .

Возьмем x ₀ [X ]. Тогда любая окрестность точки x ₀ содержит точки множества X в любой окрестности точки x ₀ содержатся точки множества Y x ₀ [Y ].

2) X [X ].

Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X ].

3) [[X ]] = [X ]. Докажем методом двойного включения.

a) [X ][[X ]]. Доказано во втором пункте.

b) x ₀ [[X ]] Возьмем U (x ₀ ), для неё y ₀ U (x ₀ ) [X ] y – точка прикосновения множества X U (y ₀ ) найдутся точки множества X . Возьмем U (y ₀ ) U (x ₀ ), z ₀ U (y ₀ ) X . Отсюда z ₀ U (x ₀ ) X . Тогда x ₀ – точка прикосновения множества X x ₀ [X ]. Таким образом, [[X ]] [X ].

Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R ² поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что X оператор замыкания на множестве A .

Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.

Доказательство:

∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.

Требуется доказать, что A – полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.

Рассмотрим XA , Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = infY . Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, x y для любого xX ; если также xz для любого xX , то zY и, следовательно, yz . Поэтому y = supX .▲

Определение 8. Упорядоченное множество (I ,) называется направленным , если для любых i , j I существует такой элемент k I , что i k , j k , то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.

Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:

(i) Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.

(ii) Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.