В заключении отметим, что в данной работе сделана попытка, опираясь на основные школьные учебники, собрать материал по данной теме, систематизировать его для того, чтобы выделить важные моменты при формировании понятия функции и препятствовать формальному усвоению понятий, сопутствующих определению функции. Большую роль в достижении этой цели играют разработанные тестовые задания, разбор типичных примеров, в которых учащиеся зачастую дают неправильные ответы.

Данная работа охватывает весь материал, связанный с понятием функции в школьном курсе и может быть использована при работе на уроках в обычных, профильных классах и на факультативных занятиях по математике.

§1. Различные трактовки понятия функции в школьном курсе математики

Функция – одно из фундаментальных понятий математики, а функциональная идея является одной из определенных идей развития школьного курса математики.

В существующих программах по математике как для школ (классов) с углубленным изучение математики, так и для базовых школ тема «Функции» занимает большой объем, к тому же очень много вопросов, касающихся функций, содержит программа по математике для поступающих в ВУЗы, поэтому особенно важен вопрос о трактовке этого фундаментального понятия математики.

Существуют различные трактовки общего понятия функции. В математике известны два основных направления: так называемое классическое , ориентированное в основном на приложение математики в физике и технике и опирающееся на понятие «переменная величина», и современное (или теоретико - множественное), связанное с отказом от расплывчатого понятия переменной величины, которое позволяет значительно расширить понятие функции, так как рассматривает функции не только от «величин».

Примером классического направления трактовки функции может служить определение функции: «зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называют функциональной зависимостью, илифункцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом , а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от такого аргумента. “ (Алгебра, учебник для седьмого класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией С.А. Теляковского, М., 1997, стр. 44). Авторы учебника «Алгебра» для 9 класса общеобразовательных школ с углубленным изучением математики К.О. Ананченко, Н.Т. Воробьева, Г.Н. Петровского, Мн, 1995г., дают общее понятие функции в двух трактовках. С одной стороны они истолковывают функцию как «соответствие (правило) по которому для любого х (независимой переменной) из множества Х сопоставляется вполне определенное (единственное) у (зависимая переменная) из Y (стр.4)

С другой стороны, они определяют функцию как соответствие между множествами: если Х и Y – два произвольных множества, то говорят, что на Х определена функция f, принимающая значения из Y, если каждому элементу х Х поставлен в соответствие единственный элемент yY “ /стр. 5/.

Это уже второе современное (теоретико – множественное) направление.

§2. Функция и задание её аналитическим выражением

Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению аргумента находятся соответствующие ему значения функции.

Из всех основных способов задания функции, таких, как аналитический, табличный, графический, алгоритмический или программный, особый интерес и значимость имеет задание функции при помощи некоторой формулы, некоторого аналитического выражения, позволяющего для любого значения аргумента из области определения Х, находить соответствующее значение функции путем вычислений.

Представление о формуле как о некоторой формуле, связывающей y и х, к сожалению, довольно часто встречается у школьников. Функция и формула - это разные «вещи» Одно дело-функция как отображение одного множества (в данном случае числового множества) на другое, другое дело – формула, представляющая собой лишь один из способов задания функции.

Чем же опасно отождествление функции с формулой, которая описывает функцию?

Во-первых, не всякая формула задает функцию.

Приведем несколько примеров:

у = +; y = +:

y = +; и т.д.

Что можно сказать об области определения, например, функции

y= +?

Функция у = имеет область определения [2; +), а функция у = - область определения ]-; 1]. Указанные промежутки не пересекаются, значит, формула у = +не определяет никакой функции.

Во всех указанных примерах за формулой не стоит никакой функции, так как область определения выражений f(x) есть пустое множество.

Во-вторых, не всякую функцию можно задать с помощью формулы.

Примером такой функции является функция Дирихле, определенная на числовой прямой:

D(y) =

Эта функция есть отображение множества рациональных чисел в единицу и множества иррациональных чисел в нуль.

В-третьих, несколько формул могут задавать одну-единственную функцию.

Пример:

у =

Эта функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(y) = (-;+) и задана с помощью трех аналитических выражений, а именно на промежутке (-;0) используется закон числового соответствия, описываемый формулой у = 2, на отрезке [0;2] – формулой 1+x, а на промежутке (2;+) – формулой у = х-1.

Таким образом, формула – это не сама функция, а всего лишь один из способов ее задания.

§3. Область определения функции и область значений функции как принципиально важные понятия в определении функции