Дипломная работа: Формирование понятия функции в курсе математики средней школы

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф(x) и Ф(x) соответственно:

Ф(x) = f(x) (x); Ф(x) = ((x) 0).

Учитывая, что функции f(x) и (x) – нечётные, будем иметь:

Ф(-x) = f(-x) (-x) = (-f(x)) (-(x)) = f(x) (x) = Ф(x);

Ф(-x) = = = = Ф(x).

Полученные равенства доказывают, что Ф(x) и Ф(x) функции чётные.

Свойство 3. Если y = f(x) и y = (x) – чётные функции , то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G(x),

разность функций G(x), произведение функций G(x), частное данных функций G(x) соответственно:

G(x) = f(x) + (x); G(x) = f(x) - (x); G(x) = f(x) (x);

G(x) = ( 0).

Докажем, что G(x), G(x), G(x), G(x) – чётные функции.

Доказательство

Учитывая, что f(x) и (x) – чётные функции будем иметь:

G(-x) = f(-x) + (-x) = f(x) + (x) = G(x);

G(-x) = f(-x) - (-x) = f(x) - (x) = G(x);

G(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (x) = G(x);

G(-x) = = = G(x).

Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению

F(-x) = f(x), (-x) = -(x).

Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x) (x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.

Доказательство

Учитывая, что f(x) – функция чётная, а (x) – функция нечётная, будем иметь:

Q(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (-(x)) = -f(x) (x) = -Q(x).

Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.

Свойство 5. Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Доказательство

Пусть функция y = f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.