Дипломная работа: Формирование понятия функции в курсе математики средней школы

Напоминаем, что областью определения функции (обозначается D(f) или D(y)) называется множество Х, на котором определяется функция f.

Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как

f (x) =, D(f) = [0;]

Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f (x) = имеет смысл при всех хR.

Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.

Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.

Пример:

у = ,

определенная на отрезке [-6;-1], у = , определенная на промежутке (0;+), это разные функции.

Косинус, определенный, например, на отрезке [0;], косинус, определенный на отрезке [, и косинус, определенный на всей числовой прямой, - это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.

Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть дана функция

y = .

Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых logsinx0 и sinx>0. Так как , то для 0 < sinx < 1 logsinx < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение

logsin x = 0

logsin x = log1

sin x = 1, откуда

x = + 2n, nZ.

Таким образом, D(y) = {+2n , nZ}.

Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку

logsin ( + 2n) = log1 = 0.

2. Найти область изменения функции

у = .

Решение:

Составим уравнение = а, и исследуем множество его решений.

При а 0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х= а или х= 1 - а. Это уравнение имеет решение лишь при 1 - а 0, откуда а[-1;1], но с учетом, а 0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а[0;1], поэтому E(y) = [0;1].