Дипломная работа: Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии

AB =ВС=А D = DE

Найдем точку О пересечения прямых BE и CD . Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике АСЕ биссектриса AF является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан ЕВ и CD .

Проложите на местности какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через заданные точки А и В. Как проложить перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через данную точку Н ?

Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Кроме того, отложим на том же расстоянии от точки В еще две точки D и Е в двух разных, но не противоположных направлениях (рис. 4). Найдем точку F пересечения прямых АЕ и CD , а также точку G пересечения прямых AD и СЕ.

Прямая FG перпендикулярна прямой АВ. Действительно, точки А, Е, D и С равноудалены от точки В, т.е. лежат на одной окружности с центром В и диаметром АС. Следовательно, вписанные углы ADC и АЕС прямые, поэтому AD и СЕ — высоты треугольника AFC . Так как все три высоты этого треугольника пересекаются в одной точке G , то прямая FG перпендикулярна стороне АС. Для того чтобы проложить перпендикуляр к прямой АВ через данную точку Н , достаточно проложить через эту точку прямую, параллельную прямой FG .

Рис. 4 Рис. 5

На местности обозначены точки А и В. Найдите точки С, D и Е, для которых выполнены равенства =45є, є , є.

Проложим перпендикуляр к прямой АВ , пересекающий в какой-то точке луч АВ. Без ограничения общности считаем для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В. На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложим точки С и F (рис. 5), удаленные от точи В на расстояние АВ. Тогда угол ВАС равен (из равнобедренного прямоугольного треугольника ABC ). На прямой AF отложим точку G на расстоянии АВ от точки А, затем на прямой ВС отложим точку D на расстоянии СО от точки В. Тогда угол BAD равен 60°, так как по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABC , ACG и АВ D имеют место равенства

AD = .

Для построения точки Е теперь остается проложить биссектрису угла ВА D .

§ 2. Измерения при различных ограничениях

Для нахождения расстояний, высот, глубин или других размеров реальных объектов не всегда можно обойтись непосредственным их измерением — во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны [5]. Однако в своей деятельности человеку приходится порой задумываться над тем, как все-таки можно определить интересующую его величину и как сделать это поточнее.

Основными измерительными «приборами», которые всегда имеются «под рукой», являются: шаг, пядь (размах пальцев), сажень (размах рук), уровень глаз (расстояние от земли до глаз) и т. д. Не менее важно следить за надежностью способа, т.е. зависимостью его точности от различных погрешностей, которые неизбежно возникают при работе на местности [11].

Определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояния шагами достаточно легко. Самый простой и, казалось бы, точный способ состоит в том, чтобы сделать один шаг и измерить расстояние между крайними (наиболее удаленными) точками двух ступней. Такой способ явно не годится по двум причинам. Во-первых, расстояние между крайними точками ступней не равно длине шага, а превосходит ее на длину одной ступни (правильнее было бы измерить расстояние, например, между носками двух ступней). Во-вторых, при всем старании вряд ли можно сделать один обычный шаг — для этого вам нужно оказаться в состоянии обычной ходьбы.

Для определения длины шага достаточно пройти какое-либо заранее известное и не слишком короткое расстояние, скажем между соседними километровыми или стометровыми столбиками на шоссе, и поделить это расстояние на количество сделанных шагов.

Отметим, что средняя длина шага взрослого человека примерно равна половине его роста, считая до уровня глаз.

Измеряя какие-либо длины пальцами руки, лучше не отрывать руку от измеряемой поверхности, а приставлять один палец к другому, который затем снова вытягивать в заданном направлении (описанный процесс отдаленно напоминает движение гусеницы). Чтобы найти длину такого размаха своих пальцев, проще всего отложить вдоль какой-нибудь прямой одни или несколько десятков размахов пальцев, а затем поделить на их количество отложенную в результате длину.

§ 3.Преподавание математики в сельской школе

В особое внимание нуждается сельская школа. Ее состояние и уровень работы существенно влияет на социальное развитие села, закрепление молодежи, повышение культурного уровня сельского населения, решение демографических проблем в деревни. Перед сельской школой ставится задача воспитания у учащихся стремления активно участвовать в подъеме сельскохозяйственного производства [19].

Большие возможности естественной органической связи учебного материала с сельскохозяйственным производством имеются у учителя математики. Такая связь может осуществляться различными способами: сообщение учителя на уроках о применении изучаемых вопросов в сельскохозяйственной практике, решение задач прикладного характера, проведение практических работ и экскурсий.

Традиционной и наиболее естественной формой связи учебной работы по математике с сельскохозяйственным производством является решение на уроках задач из сельскохозяйственной практики. С другой стороны, практические задачи способствуют формированию правильного понимания природы математики, развитию материалистического мировоззрения.

Свойства измерения отрезков находят применение на практике. Рассмотрим инструмент (демонстрирует модель—см рис 6,а), с помощью которого удобно производить проверку глубины вспашки. Называется инструмент бороздомером. Он состоит из двух линеек одинаковой длины неподвижной, оканчивающейся угольником, и подвижной. Для замера глубины пахоты бороздомер устанавливают вертикально угольником на непаханую поверхность поля, а подвижную линейку опускают на расчищенное дно борозды Верхний конец подвижной линейки показывает глубину борозды по шкале, нанесенной от верхнею конца неподвижной линейки. Докажем это.

б)

а)

?

Рис. 6

С геометрической точки зрения нам дан отрезок AD (выполняется рис. 6,б) и точки В и С на нем, причем известно, что АС = = BD Требуется доказать, что CD = АВ.

Решение. Можно записать, что АС = АВ + ВС, BD = ВС + CD Так как А С = BD , то АВ + ВС = = ВС + CD . Отсюда и следует, что CD = АВ.

Свойства прямоугольного треугольника используются при конструировании различных приборов. Рассмотрим модель эклиметра — прибора для измерения на местности величины угла наклона прямой Принцип действия его таков (демонстрируется модель — см. рис. 7, ОР — нить с грузиком). Нить ОР показывает на шкале величину искомого угла. Докажем это. Изобразим прямую SO (рис. 7).

Рис. 7

Угол наклона прямой – это угол, который она образует с горизонтальной прямой. Нить с грузиком – отвес – занимает положение прямой, перпендикулярной горизонтальной прямой. Опустим из точки О перпендикуляр к прямой SB . Получится точка Р. Восстановив из точки О перпендикуляр к прямойSO , получим угол РОВ , величину которого показывает шкала прибора.

Итак, мы пришли к такой геометрической задаче:

Дано:.