Дипломная работа: Кольцо целых чисел Гаусса

Доказательство.

Пусть такой делитель является составным числом. Тогда , где и необратимые гауссовы числа. Перейдем к нормам, и согласно (3) получим, что . Так как эти нормы натуральны, то имеем, что , а в силу (12), является необратимым делителем данного числа Гаусса, что противоречит выбору .

Ч.Т.Д.

Утверждение 6.

Если не делится на простое гауссово число , то НОД(,)=1.

Доказательство.

Действительно, простое число делится только на числа союзные с 1 или с . А так как не делится на , то на союзные с тоже не делится. Значит, их общими делителями будут только обратимые числа.

Ч.Т.Д.

Лемма 7. Лемма Евклида.

Если произведение гауссовых чисел делится на простое гауссово число , то хотя бы один из множителей делится на .

Доказательство.

Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда произведение содержит только два множителя. То есть покажем, что если делится на , то либо делится на , либо делится на .

Пусть не делится на , тогда НОД(, )=1. Следовательно, существуют такие гауссовы числа и , что . Умножим обе части равенства на , получим, что , отсюда следует, что , как сумма чисел делящихся на .

Ч.Т.Д.

1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ.

Любое ненулевое гауссово число можно представить в виде произведения простых гауссовых чисел, причем это представление единственно с точностью до союзности и порядка сомножителей.

Замечание 1.

Обратимое число имеет в своем разложении нуль простых множителей, то есть представляется самим собой.

Замечание 2.

Более точно единственность формулируется следующим образом. Если имеются два разложения на простые гауссовы множители, то есть , то и можно так перенумеровать числа , что будет союзно с , при всех от 1 до включительно.

Доказательство.

Доказательство проведем индукцией по норме.

База. Для числа с единичной нормой утверждение очевидно.

Пусть сейчас — ненулевое необратимое гауссово число, и для всех чисел Гаусса с нормой меньшей утверждение доказано.

Покажем возможность разложения на простые множители. Для этого обозначим через необратимый делитель , имеющий наименьшую норму. Этот делитель должен быть простым числом по утверждению 5. Тогда . Таким образом, мы имеем и по индуктивному предположению представимо в виде произведения простых чисел. Значит, раскладывается в произведение этих простых и .

Покажем единственность разложения на простые множители. Для этого возьмем два произвольных таких разложения:

.

По лемме Евклида в произведении один из множителей должен делиться на . Можно считать, что делится на , иначе перенумеруем. Так как они простые, то , где обратимо. Сокращая обе части нашего равенства на , получим разложение на простые множители числа , по норме меньшего, чем .

.

По индуктивному предположению и можно перенумеровать числа так, что будет союзно с , с , …, с . Тогда и при этой нумерации союзно с при всех от 1 до включительно. Значит, разложение на простые множители единственно.

Ч.Т.Д.

Пример однопорожденного кольца над без ОТА.

Рассмотрим . Элементами этого кольца являются числа вида , где и произвольные целые числа. Покажем, что в нем не выполняется основная теорема арифметики. Определим в этом кольце норму числа следующим образом: . Это действительно является нормой, так как нетрудно проверить, что . Пусть и . Тогда

.