Дипломная работа: Кольцо целых чисел Гаусса
Все простые гауссовы можно разбить на три группы:
1). Простые натуральные вида 
, 
являются простыми гауссовыми;
2). Двойка союзна с квадратом простого гауссова числа 
;
3). Простые натуральные вида 
, раскладываются в произведение двух простых сопряженных гауссовых.
Доказательство.
1). Предположим, что простое натуральное 
вида не является простым гауссовым. Тогда 
, причем 
и 
. Перейдем к нормам: 
. Учитывая указанные неравенства, получим 
, то есть — сумма квадратов двух целых чисел. Но сумма квадратов целых чисел не может давать остаток 3 при делении на 4.
2). Заметим, что
.
Число — простое гауссово, так как иначе двойка разложилась бы на три необратимых множителя, что противоречит теореме 9.
3). Пусть простое натуральное вида , тогда по лемме 11 существует целое число 
такое, что 
. Пусть — простое гауссово. Так как 
, то по лемме Евклида на делится хотя бы один из множителей. Пусть 
, тогда существует гауссово число 
такое, что 
. Приравнивая коэффициенты мнимых частей получим, что 
. Следовательно, 
, что противоречит нашему предположению о простоте . Значит — составное гауссово, представимое в виде произведения двух простых сопряженных гауссовых.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Гауссово число, сопряженное к простому, само является простым.
Доказательство.
Пусть 
простое число гаусса. Если предположить, что 
составное, то есть 
. Тогда рассмотрим сопряженное:
, то есть представили в виде произведения двух необратимых сомножителей, чего не может быть.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Гауссово число, норма которого есть простое натуральное число, является простым гауссовым числом.
Доказательство.
Пусть составное число, тогда 
. Рассмотрим нормы.
То есть получили, что норма составное число, а по условию есть простое число. Следовательно, наше предположение не верно, и есть простое число.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Если простое натуральное число не является простым гауссовым, то оно представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство.
Пусть простое натуральное число и не является простым гауссовым. Тогда 
. Так как равны числа, то равны и их нормы. То есть 
, отсюда получаем 
.
Возможно два случая:
1). 
, то есть представили 
в виде суммы двух квадратов.
2). 
, то есть 
, значит 
обратимое число, чего не может быть, значит этот случай нас не удовлетворяет.
Ч.Т.Д.