Дипломная работа: Корректирующие коды

При этом, m = [log₂ (1+n)] или m = [log₂ {(k+1)+ [log₂ (k+1)]}], где ква-дратные скобки обозначают округление до большего целого.

В таблице 1 приведены соотношения между длиной кодовой комбинации и количеством информационных и контрольных разрядов для кода исправляющего одиночную ошибку, а также эффективность использования канала связи.

Для исправления двукратной ошибки

или . (5)

Введение избыточности в кодовые комбинации при использовании корректирующих кодов существенно снижает скорость передачи информации и эффективность использования канала связи.

Например, для кода (31, 26) скорость передачи информации равна

,

т. е. скорость передачи уменьшается на 16%.

Таблица 1

n	7	10	15	31	63	127	255
k	4	6	11	26	57	120	247
m	3	4	4	5	6	7	8
	0,57	0,6	0,75	0,84	0,9	0,95	0,97

Как видно из таблицы 1, чем больше n, тем эффективнее используется канал.

Пример 1. Определить количество проверочных разрядов для систематического кода исправляющего одиночную ошибку и состоящего из 20 информационных разрядов.

Решение: Общая длина кодовой комбинации равна n = k+m, где k - количество информационных разрядов, а m - проверочных разрядов.

Для обнаружения двойной и исправления одиночной ошибки зависимости для разрядов имеют вид , при этом

m = [log₂ {(k+1)+ [log₂ (k+1)]}]=[log₂ {(20+1)+ [log₂ (20+1)]}]=5,

т. е. получим (25, 20)-код.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППОВЫЕ КОДЫ

Линейным называется код, в котором проверочные символы представляют собой линейные комбинации информационных. Групповым называется код, который образует алгебраическую группу по отношению операции сложения по модулю два.

Свойство линейного кода : сумма (разность) кодовых векторов линей-ного кода дает вектор, принадлежащий этому коду. Свойство группового кода: минимальное кодовое расстояние между кодовыми векторами равно минимальному весу ненулевых векторов. Вес кодового вектора равен числу единиц в кодовой комбинации.

Групповые коды удобно задавать при помощи матриц, размерность которых определяется параметрами k и n . Число строк равно k, а число столбцов равно n = k+m.

. (6)

Коды, порождаемые этими матрицами, называются (n, k )-кодами, а соответствующие им матрицы порождающими (образующими, производящими). Порождающая матрица G состоит из информационной I_kk и проверочной R_km матриц. Она является сжатым описанием линейного кода и может быть представлена в канонической (типовой) форме

. (7)

В качестве информационной матрицы удобно использовать единичную матрицу, ранг которой определяется количеством информационных разрядов

. (8)

Строки единичной матрицы представляют собой линейно-незави-симые комбинации (базисные вектора), т. е. их по парное суммирование по модулю два не приводит к нулевой строке.

Строки порождающей матрицы представляют собой первые k комбинаций корректирующего кода, а остальные кодовые комбинации могут быть получены в результате суммирования по модулю два всевозможных сочетаний этих строк.

Столбцы добавочной матрицыR_km определяют правила формирования проверок. Число единиц в каждой строке добавочной матрицы должно удовлетворять условию r₁ ³ d₀ -1 , но число единиц определяет число сумматоров по модулю 2 в шифраторе и дешифраторе, и чем их больше, тем сложнее аппаратура.

Производящая матрица кода G(7,4) может иметь вид

и т.д.

Процесс кодирования состоит во взаимно - однозначном соответствии k -разрядных информационных слов - I и n- разрядных кодовых слов - с

c=IG. (9)