Дипломная работа: Корректирующие коды

. (10)

При этом, информационная часть остается без изменений, а корректирующие разряды определяются путем суммирования по модулю два тех строк проверочной матрицы, номера которых совпадают с номерами разрядов, содержащих единицу в информационной части кода.

Процесс декодирования состоит в определении соответствия принятого кодового слова, переданному информационному. Это осуществляется с помощью проверочной матрицы H(n, k) .

, (11)

где R_mk ^T -транспонированная проверочная матрица (поменять строки на столбцы); I_mm - единичная матрица.

Для (7, 4)- кода проверочная матрица имеет вид

. (12)

Между G(n ,k) и H(n, k) существует однозначная связь, т. к. они определяются в соответствии с правилами проверки, при этом для любого кодового слова должно выполняться равенство cH^T = 0 .

Строки проверочной матрицы определяют правила формирования проверок. Для (7, 4)-кода

p₁ Å +a₁ Å +a₂ Å a₄ = S₁ ;

p₂ Å +a₁ Å +a₂ Å a₃ = S₂ ; (13)

p ₃ Å + a ₁ Å + a ₃ Å a ₄ = S ₃ .

Полученный синдром сравниваем со столбцами матрицы и определяем разряд, в котором произошла ошибка, номер столбца равен номеру ошибочного разряда. Для исправления ошибки ошибочный бит необходимо проинвертировать.

Пример 1. Построить групповой код способный передавать 16 символов первичного алфавита с исправлением одиночной ошибки. Показать процесс кодирования, декодирования и исправления ошибки для передаваемого информационного слова 1001.

Решение:

1. Построим производящую матрицу G(n, k) .

Если объем кода N = 2^k = 16, то количество информационных разрядов к = 4. Минимальное кодовое расстояние для исправления одиночной ошибки d₀ =2s+1=3. По заданной длине информационного слова, используя соотношения:

n = k+m, 2ⁿ ³ (n+1)2^k и 2^m ³ n+1

вычислим основные параметры кода n и m .

m=[log₂ {(k+1)+ [log₂ (k+1)]}]=[log₂ {(4+1)+ [log₂ (4+1)]}]=3.

Откуда n = 7 , т. е. необходимо построить (7, 4)-код.

В качестве информационной матрицы I_k (7, 4) - выбираем единичную матрицу (4´4), а в качестве проверочной матрицы R_km (7 ,4) - выбираем матрицу (4´3), каждая строка которой содержит число единиц больше или равно двум (r₁ £ d₀ -1 ).

Таким образом, в качестве производящей можно принять матрицу

.

2. Определим комбинации корректирующего кода.

Для заданного числа информационных разрядов k = 4, число кодовых комбинаций равно N = 2^k = 2⁴ = 16 .

1) 0000 5) 0010 9) 0001 13) 0011

2) 1000 6) 1010 10) 1001 14) 1011

3) 0100 7) 0110 11) 0101 15) 0111