Дипломная работа: Математические основы системы остаточных классов

- установить взаимосвязь СОК и теории чисел;

- изучить СОК и методы перевода чисел из ПСС в СОК и обратно;

- разработать и выполнить программы на языке Paskal, содержащие различные методы перевода чисел из ПСС в СОК и обратно.

Дипломная работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы.

Во введении даётся краткое обоснование поставленных задач.

Первая глава содержит известные факты теории чисел в той мере, в какой они будут применяться в дальнейшем. Здесь излагаются самые элементарные понятия теории чисел, в частности, сравнения и их свойства, различные теоремы. А также главная теорема в СОК – китайская теорема об остатках.

Вторая глава посвящена представлению чисел в СОК и различным методам перевода чисел из СОК в ПСС и от ПСС в СОК.

Третья глава содержит программные разработки методов перевода чисел из ПСС в СОК и обратно.

Глава 1. Теоретико-числовая база построения СОК

§ 1. Сравнения и их основные свойства

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел.

При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю.

Определение . Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю р , если разность чисел а – b делится на р , то есть, если . Соотношение между а, b и р запишем в виде:

(1.1)

запись modp будет означать, что , числа а и b – вычеты.

Если разность а – b не делится на р , то запишем:

.

Согласно определению означает, что а делится на р .

Примеры :

, т. к. 101 – 17 = 84, а или , т. к. числа 135 и 11 при делении на 4 дают остаток 3.

Теорема . а сравнимо с b тогда и только тогда, когда а и b имеют одинаковые остатки при делении на р , поэтому в качестве определения сравнения можно взять следующее:

Определение : Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю р , если остатки от деления этих чисел на р равны.

Дадим основные свойства сравнений:

1. Рефлексивность отношения сравнимости:

2. Симметричность отношения сравнимости:

если, , то .

3. Транзитивность отношения сравнимости:

если , , то .

4. Если и k – произвольное целое число, то .