Дипломная работа: Математические основы системы остаточных классов

Как следует из китайской теоремы об остатках, можно использовать любой соответствующий интервал целых чисел. Например, можно работать только с неотрицательными целыми числами, меньшими Р . С другой стороны, при выполнении операций сложения и вычитания, так же, как и умножения, обычно удобнее всего предположить, что все модули являются нечётными целыми числами, так что и тоже нечётное, и можно работать с целыми числами из интервала , симметричного относительно нуля.

§ 5. Числа Мерсенна, Ферма и операции над ними

При рассмотрении отдельных классов простых чисел значительный интерес представляет вопрос о простых числах вида , где m – нечётное, именуемые числами Мерсенна. При простых значениях m = p число может оказаться простым, но может быть составным.

Например, при р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 мы получаем простые числа Мерсенна: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, а при р = 11, 23, 29 числа - составные.

Числа вида , где k – положительное, обычно называют числами Ферма. При k = 0, 1, 2, 3, 4 числа Ферма простые: 3, 5, 17, 257, 65537. Все остальные числа Ферма – составные. Все числа Мерсенна и Ферма – взаимно простые.

Необходимо отметить, что значения чисел Мерсенна и Ферма быстро растут. Это не позволяет использовать лишь их в качестве модуле СОК.

При работе же на двоичных компьютерах, иногда желательно выбирать модули в виде чисел Мерсенна

. (5.1)

Другими словами, значение каждого модуля на единицу меньше очередной степени 2. Такой выбор значения модуля зачастую упрощает выполнение основных арифметических операций, так как выполнять вычисления с числами, представленными по модулю , несколько проще, чем с числами, представленными в обратном коде. После того как значения модулей таким образом выбраны, полезно несколько ослабить условие и потребовать чтобы только

, . (5.2)

Таким образом, значение принимается в качестве оптимального вместо , поскольку это, с одной стороны, не влияет на справедливость китайской теоремы об остатках, а с другой означает, что может быть любым - битовым двоичным числом. При таком допущении, операции сложения и вычитания по модулю выполняются следующим образом:

,

.

Здесь и указывают на действия, которые с учётом условия (5.2) должны быть выполнены с отдельными компонентами кортежей и при сложении или умножении соответственно. При вычитании можно пользоваться и соотношением:

.

Эти операции могут быть эффективно выполнены, даже если больше машинного слова компьютера, так как совсем просто вычислить остаток положительного числа по модулю степени 2 или разложить число по степеням 2. Для работы с модулями вида необходимо знать, при каких условиях число является взаимно простым с числом . Для этого существует простое правило:

. (5.3)

Формула (5.3) утверждает, в частности, что

.

Уравнение (5.3) следует из алгоритма Евклида и тождества

,

где mod означает операцию нахождения остатка от деления. Поэтому на компьютере с длиной слова 2³² можно выбрать

, ,, , ,

что обеспечивает эффективность сложения, вычитания и умножения целых чисел в интервале вплоть до .

Как мы уже заметили, операции преобразования чисел в СОК и обратно очень важны. Модулярное представление для заданного числа А может быть получено посредством деления А на с запоминанием остатков. В случае, когда , возможно применение более подходящего способа, который состоит в том, чтобы, используя СОК, вычислить полином

.

Если основание b = 2 и модули имеют вид , оба подхода сводятся к совсем простому способу. Рассмотрим двоичные представления числа А с блоками по бит:

,

где и при .