Дипломная работа: Метризуемость топологических пространств

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых и из и удовлетворяющей трем условиям:

1) (аксиома тождества);

2) (аксиома симметрии);

3) (аксиома треугольника).

Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в называется любая система его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:

1. Само множество и пустое множество принадлежат .

2. Объединение любого (конечного или бесконечного) и пересечение любого конечного числа множеств из принадлежат .

Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.

Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .

Определение. Совокупность открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .

Теорема 1. Всякая база в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:

1) любая точка содержится хотя бы в одном ;

2) если содержится в пересечении двух множеств и из , то существует такое , что .

Определение. Открытым шаром или окрестностью точки радиуса в метрическом пространстве называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом – центр шара, – радиус шара.

Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в -окрестность точки .

Доказательство. Выберем в качестве :.

Достаточно доказать для произвольного импликацию . Действительно, если , то

Получаем, что , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

· Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется для любого .

· Проверим второе свойство.

Пусть , и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что Теорема доказана.

Определение. Топологическое пространство метризуемо , если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .

Аксиомы отделимости