Дипломная работа: Метризуемость топологических пространств
2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .
Пусть - открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого существует такое, что . Можно считать, что . Тогда является окрестностью в того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии .
В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из всего выше сказанного следует, что метрики и эквивалентны.
3. Из формулы следует, что для любых . Отсюда .
Определение. - топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где открыто в для любого и