Дипломная работа: Многомерная геометрия

При построении геометрии на прямой, на плоскости и в трёхмерном пространстве есть две возможности: либо излагать материал с помощью наглядных представлений (этот способ характерен для школьного курса, поэтому трудно себе представить учебник геометрии без чертежей), либо – и эту возможность даёт нам метод координат – излагать его чисто аналитически, назвав, например, точкой плоскости в курсе планиметрии пару чисел (координаты этой точки), а точкой пространства – тройку чисел.При введении четырёхмерного пространства первая возможность у нас отсутствует. Мы не можем непосредственно пользоваться наглядными геометрическими представлениями – ведь окружающее нас пространство имеет всего три измерения. Однако вторая версия для нас не закрыта. В самом деле, мы определяем точку прямой как число, точку плоскости как пару чисел, точку трёхмерного пространства как тройку чисел. Поэтому совершенно естественно построить геометрию четырёхмерного пространства, определив точку этого воображаемого пространства как четвёрку чисел. Под геометрическими фигурами в таком пространстве нужно будет понимать некоторые множества точек (как, впрочем, и в случае обычной геометрии). Перейдём теперь к точным определениям.

Координатные оси и плоскости

Определение . Точкой четырёхмерного пространства называется упорядоченная четвёрка чисел (x , y , z , t ).

Что считать в пространстве четырёх измерений координатными осями и сколько их?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на время к плоскости и трёхмерному пространству.

На плоскости (т. е. в пространстве двух измерений) координатные оси – это множества точек, у которых одна из координат может иметь одно числовое значение, а вторая равна нулю. Так, ось абсцисс – это множество точек вида (х , 0), где х – любое число. Например, на оси абсцисс лежат точки (1, 0), (-3, 0), а точка (1/5, 2) не лежит на оси абсцисс.

Рис. 2

Ось ординат плоскости – это множество точек вида (0, у ), где у – любое число. В трёхмерном пространстве есть три оси: ось х – это множество точек вида (х , 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у , 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z), где z – любое число.В четырёхмерном пространстве, состоящем из всех точек вида (x , y , z , t ), где x , y , z , t – любые числа, естественно считать координатными осями такие множества точек, у которых одна из координат принимает любые числовые значения, а остальные равны нулю. Тогда ясно, что в четырёхмерном пространстве есть четыре координатные оси: ось х – это множество точек вида (х , 0, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у , 0, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z , 0), где z – любое число, где у – любое число; ось t – множество точек вида (0, 0, 0, t ), где t – любое число. В трёхмерном пространстве, кроме координатных осей, имеются ещё координатные плоскости. Это – плоскости, проходящие через две какие-либо две координатные оси. Например, плоскость yz – это плоскость, проходящая через ось y и ось z .

Всего в трёхмерном пространстве есть три координатные плоскости:

плоскость xy – множество точек вида (х, у, 0 ), где х и у – любые числа;

плоскость yz – множество точек вида (х, 0, z ), где х и z – любые числа;

плоскость yz – множество точек вида (0, у, z ), где y и z – любые числа.

Естественно, и в четырёхмерном пространстве называть координатными плоскостями множество точек, у которых какие-либо две из четырёх координат принимают любые числовые значения, а остальные две равны нулю. Например, множество точек вида (x, 0, z, 0 ) мы будем называть координатной плоскостью xz четырёхмерного пространства. Сколько же всего таких плоскостей?

Выпишем их:

плоскость ху – множество точек, вида (х, у, 0, 0 ),

плоскость х z – множество точек, вида (х, 0, z, 0 ),

плоскость х t – множество точек, вида (х, 0, 0, t ),

плоскость у z – множество точек, вида (0, у, z, 0 ),

плоскость у t – множество точек, вида (0, у, 0, t ),

плоскость zt – множество точек, вида (0, 0, z, t ).

Для каждой из этих плоскостей переменные координаты могут принимать любые числовые значения, в том числе и нулевое. Например, точка (5, 0, 0, 0) принадлежит плоскости xy и плоскости xt . Тогда легко видеть, что, например, плоскость yz «проходит» через ось у в том смысле, что каждая точка этой оси принадлежит этой плоскости. Действительно, любая точка на оси у , т. е. точка вида (0, у , 0, 0), принадлежит множеству точек вида (0, y, z, 0), т. е. плоскости yz .

Итак, в четырёхмерном пространстве существуют множества точек, аналогичные координатным плоскостям трёхмерного пространства. Их шесть. Каждое из них состоит из точек, у которых, как и у точек координатных плоскостей трёхмерного пространства, две какие-либо координаты могут принимать любые числовые значения, а остальные две равны нулю. Каждая из этих координатных плоскостей «проходит» через две координатные оси: например, плоскость yz проходит через ось у и ось z . С другой стороны, через каждую ось проходят три координатные плоскости. Так, через ось х проходят плоскости xy, xz, xt . Будем говорить, что ось х является пересечением этих плоскостей. Все шесть координатных плоскостей содержат одну общую точку. Это точка (0, 0, 0, 0) – начало координат.

Получаем аналогичную тому, что имеется в трёхмерном пространстве. Представим схематический рисунок, который поможет создать некоторый наглядный образ расположения координатных плоскостей и осей четырёхмерного пространства.

Рис. 3

На рисунке оси координат изображены прямыми, показаны координатные плоскости, все точно также, как и для трёхмерного пространства.

Однако, в четырёхмерном пространстве есть ещё множества точек, которые можно называть координатными плоскостями. На прямой имеется только начало координат, на плоскости есть и начало координат, и оси в трёхмерном пространстве, кроме начала и осей, появляются ещё и координатные плоскости. Естественно, что в четырёхмерном пространстве появляются новые множества, которые будем называть трёхмерными координатными плоскостями.

Это – множества, состоящие из всех точек, у которых какие-либо три из четырёх координат принимают всевозможные числовые значения, а четвёртая равна нулю.

Таково, например, множество, имеющее вид (х, 0, z, t ), где x, z, t принимают всевозможные значения. Это множество будем называть трёхмерной координатной плоскостью xzt . Легко понять, что в четырёхмерном пространстве существует четыре координатные трёхмерные плоскости: