Дипломная работа: Многомерная геометрия
плоскость xyt - множество точек вида (x, y, 0, t ),
плоскость xzt - множество точек вида (x, 0, z , t ),
плоскость yzt - множество точек вида (0, y, z , t ).
Каждая из трёхмерных координатных плоскостей «проходит» через начало координат и что каждая из этих плоскостей «проходит» через три координатные оси (слово «проходит» мы здесь употребляем в том смысле, что начало координат и каждая из точек осей принадлежат плоскости). Например, трёхмерная плоскость xyt проходит через оси x, y, t .
Аналогично, можно сказать, что каждая из двумерных плоскостей является пересечением двух трёхмерных плоскостей.
Например, плоскость ху является пересечением трёхмерных плоскостей xyz иxyt , т. е. состоит из всех точек, принадлежащих одновременно и тому и другому множеству.
Четырёхмерный куб
Определение сферы и куба
Перейдём теперь к рассмотрению геометрических фигур в четырёхмерном пространстве. Под геометрической фигурой (как и в случае обычной геометрии) будем понимать некоторое множество точек.
Возьмем, например, определение сферы: сфера есть множество точек, удалённых от некоторой точки на одно и то же расстояние.
Это определение уже можно использовать, чтобы по аналогии определить сферу в четырёхмерном пространстве: что такое точка, мы знаем; что такое расстояние между точками, тоже знаем. Мы и примем определение, переведя его на язык чисел (для простоты, как и в случае трёхмерного пространства, возьмём сферу с центром в начале координат).
2-мерный шар (круг) 3-мерный шар
рис. 4
Определение. Множество точек (x, y, z, t ), удовлетворяющих соотношению
(5. 1)
называется четырёхмерной сферой с центром в начале координат и радиусом R .
Если рассматривать не сферу, а шар, то указанное равенство надо заменить неравенством
(5. 2)
Это замечание относится также к двумерному и к трёхмерному случаям.
Расскажем теперь немного о четырёхмерном кубе. Судя по названию, его фигура, аналогичная обыкновенному, хорошо знакомому трёхмерному кубу.
3-мерный куб
Рис. 5
На плоскости тоже есть фигура, аналогичная кубу, - это квадрат.
2-мерный куб (квадрат)
Рис. 6
Кубом называется множество точек (x, y, z ), удовлетворяющих соотношениям: