Дипломная работа: Многомерная геометрия

Это «арифметическое» определение куба не нуждается ни в каком чертеже. Однако оно полностью соответствует геометрическому определению куба.

В пространстве есть и другие кубы. Например, множество точек, определяемых соотношениями тоже является кубом. Этот куб хорошо расположен относительно координатных осей: начало координат является его центром, координатные оси и координатные плоскости – осями и плоскостями симметрии. Однако для наших целей удобен именно куб, определяемый соотношениями (5. 3). Такой куб мы будем иногда называть единичным, чтобы отличить его от других кубов.

одномерный куб (отрезок)

рис. 7

Для квадрата тоже можно дать арифметическое определение: квадратом называется множество точек (х, у ), удовлетворяющих соотношениям:

Сравнивая эти два определения, легко понять, что квадрат действительно является, как говорят, двумерным аналогом куба. Будем называть иногда квадрат «двумерным кубом».

Можно также рассмотреть аналог этих фигур и в пространстве одного измерения – на прямой. Получим множество точек х прямой, удовлетворяющих соотношениям:

Ясно, что таким «одномерным кубом» является отрезок.

Определение . Четырёхмерным кубом называется множество точек (x, y, z, t ), удовлетворяющих соотношениям

Устройство четырёхмерного куба

Рассмотрим по порядку «кубы» различных размерностей, т. е. отрезок, квадрат и обычный куб.

Отрезок, определяемый соотношениями является очень простой фигурой. Про него можно сказать, что его граница состоит из двух точек: 0 и 1. Остальные точки отрезка будем называть внутренними.

Граница квадрата состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков. Таким образом, квадрат имеет на границе элементы двух типов: точки и отрезки. Граница трёхмерного куба содержит элементы трёх типов: вершины – их 8, рёбра (отрезки) – их 12 и границ (квадраты) – их 6.

Запишем эти данные в виде таблицы:

Состав границы Фигура	Точек (вершин)	Отрезок (сторон, рёбер)	Квадратов (граней)
Отрезок	2	-	-
Квадрат	4	4	-
Куб	8	12	6

Эту таблицу можно переписать короче, если условиться писать вместо названия фигуры число n , равное её размерности: для отрезка n = 1; для квадрата n = 2; для куба n = 3. Вместо названия элемента границы тоже можно писать размерность этого элемента: для грани n = 2, для ребра n = 1.

При этом точку (вершину) удобно считать элементом нулевой размерности (n = 0). Тогда предыдущая таблица примет следующий вид:

размерность границы размерность куба	0	1	2
1	2	-	-
2	4	4	-
3	8	12	6
4	16	32	24

Цель – заполнить четвёртую строку этой таблицы. <