Введение 3

Основные понятия и определения 4

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах_ 7

§1. Свойства НОД и НОК_ 7

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп_ 11

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15

Библиографический список 19

Введение

В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.

Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R .

Как известно, различные подалгебры множества R ⁺ (например, полугруппа N ) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.

Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп S R ⁺ , обладающих одним из введенных специфических свойств:

(*) (a < b );

(**) (0<a < b ).

Основные понятия и определения

Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х , называемых открытыми , удовлетворяющее условиям:

1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,

2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t,

3) и ÆÎt.

Тогда называется топологическим пространством , t – топологией на Х .

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами .

Определение 3. Пусть – топологическое пространство и . Введем на множестве Х ₁ топологию t₁ . Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология t₁ – топологией, индуцированной топологией t на множество Х ₁ .

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R ⁺ эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, R ⁺ Ç (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х ₁ называется плотным подпространством пространства Х , если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х ₁ .

Очевидно, Х ₁ плотно в Х , если каждая точка подпространства Х ₁ является предельной точкой множества Х .

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми .

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Æ.

Определение 8. Множество Х ₁ в топологическом пространстве Х называется связным , если оно связно как топологическое подпространство пространства Х .

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--