Дипломная работа: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

4. S = {rⁿ | n Z }, где 0 < .

5. S – нульмерное плотное подпространство в [0,1].

6. S – нульмерное плотное подпространство в R ⁺ .

7. S = {0,1}.

Доказательство. Если связно, S = или S = R ⁺ по лемме 1.

Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R ⁺ ). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1 изолирована в S . Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (е _n ), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c < d , что (c ,d ) = по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (e_n ,d ) элементов из S сходится к числу d . Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим . Тогда . Возьмем произвольный ненулевой элемент из . Для него при некотором N . По свойству (*) получаем и . Поскольку , то . Тогда в случае S имеем 0,1,2,… , а в противном случае Z по лемме 9.

Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0а _n S , сходящаяся к некоторому а S . Пусть b_n = a_n / a_{n +1} , если (a_n ) возрастает, и b_n = a_{n +1} / a_n , если она убывает. Тогда b_n S (N ) и b_n 1 при . Возьмем произвольное число с (0,1). Для каждого N найдется такое k (n )N , что . Тогда имеем и .

Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S , то получаем случай 5. Если же S