Лемма 3. Если , то или =R ⁺ .

Доказательство. Очевидно, - полугруппа. Пусть и . Тогда существует элемент . Докажем, что . Возьмем произвольное . Пусть натуральное N таково, что . Тогда из следует . Отсюда . Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:

1) (0,с )S для любого ,

2) если , то и для любого .

Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S , то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS ¹Æ.Предположим, что (0,c )S для некоторого . Не теряя общности, будем считать, что . Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s [0, 1]\S . Возьмем в S ненулевой элемент и положим b =asS . Пусть d =НОД (a , b ). Поскольку 0<s <1, то sⁿ 0 при n . Тогда s^N < c для некоторого натурального N , и, значит, s^N S . По свойству 8, пункт (3), НОД (a / d , b / d )=1. Поскольку b / d :a / d =s S , то элемент a / d необратим в S . Очевидно, необратимым является и (a / d )^N . По свойству 11, пункт (5), имеем НОД ((a / d )^N , (b / d )^N )=1. Из (b / d )^N :((a / d )^N =s^N S следует, что НОД ((a / d )^N , (b / d )^N )=(a / d )^N . Значит, элемент (a / d )^N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с )S для любого .

2) Если , то заключение справедливо. Пусть и . Тогда по лемме 3 существует s . Предположим, что для некоторого с >1. Возьмем в S элемент и положим b =asS . Поскольку s > 1, то sⁿ +¥ при n . Следовательно, s^N >c для некоторого натурального N , и, значит, s^N S . Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: для любого.

Предложение 2. Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и , то S нульмерно.

Доказательство. Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале , где , есть точки, не принадлежащие S . Доказывая от противного, предположим, что [a ,b ]S для некоторых . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть 0<a <. Докажем, что найдется n ₀ N , для которого ab . В самом деле, допуская, что b < a для всех n N и, переходя в неравенстве b < a к пределу при n , получили бы b a < b . Откуда b > a для всех натуральных n > n ₀ . Тогда что невозможно по лемме 4.

Случай 2. Пусть . Возьмем такое число с > a , чтобы 1<c <b . Рассуждая, как и в случае 1, получаем cb для некоторого n ₀ N . Тогда что также невозможно по лемме 4.

Докажем, что S нульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и . Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U , что . Поскольку топология в S индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a иb , что . Если , то это и есть открыто-замкнутое множество U . Пусть левее s в интервале нет точек множества S , а правее – есть, и точка с - одна из них. По доказанному выше существует точка , такая, что . В этом случае – искомое открыто-замкнутое множество U . Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале есть точки множества S , а правее нет, и случай, когда интервал содержит точки из S и справа и слева от s . Предложение доказано.

С помощью предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.

Предложение 3. Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих классов:

1. S связно.

2. S нульмерно, замкнуто в R ⁺ и 0 – предельная точка для S .

3. S нульмерно, не замкнуто в R ⁺ и 0 – предельная точка для S .

4. Точка 0 изолирована в S.

Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы , которые являются связными множествами. Пусть несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент , то для любого N и последовательность сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка дляS , множество при этом может быть как замкнутым в R ⁺ , так и не замкнутым. Предложение доказано.

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел

со свойствами (*) и (**)

В этой главе на основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S , которые обладают одним из следующих свойств:

(*) (a < b );

(**) (0<a < b ).

Лемма 8. Полугруппа S , удовлетворяющая хотя бы одному из свойств (*), (**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД (a ,b )= max {a ,b }, НОК (a ,b )= min {a ,b } для любых a , bS , а во втором случае – НОД (a ,b )= min {a ,b }, НОК (a ,b )= max {a ,b }, если числа и не равны нулю.

Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что любые два элемента имеют НОД и НОК. По свойству (*) a = и S . Получили, что элемент b является делителем a . Следовательно, по свойству 2 делимости НОД(a ,b ) = b = max{a ,b } и НОК(a ,b ) = а = min{a ,b }. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа S обладает свойством (**), то для любых ненулевых элементов и НОД(a ,b )= min{a ,b }, НОК(a ,b )= max{a ,b }. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a ,b ) = НОД(а,0) = а и НОК(a ,b ) = НОК(а,0) = а.

Лемма 9. Если в полугруппе S со свойством (* ) существует элемент c > 1, то S \ {0 } – группа.

Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acⁿ > 1 для некоторого n N . Тогда 1 / acⁿ S в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acⁿ ) cⁿ S .

Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (* ) относится к одному из следующих классов:

1. S = [0,1].

2. S = R ⁺ .