Определение 9 . Топологическое пространство называется нульмерным , если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10 . Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной полугруппой , если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. .

Определение 11 . Элемент bS называется делителем элемента а S , если для некоторого . При этом говорят, что делится на , или делит (|).

Определение 12 . Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД .

Определение 13 . Элемент S называется кратным элементу S , если a делится на b .

Определение 14 . Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК .

Определение 15 . Полугруппа S называется НОД -полугруппой (НОК -полугруппой ), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16 . Элемент из S называется неприводимым , если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .

Определение 17 . Элемент из S называется простым , если . Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18 . Полугруппа S называется топологической полугруппой , если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.

1) áS , ×ñ– полугруппа;

2) S – топологическое пространство;

3) полугрупповая операция × непрерывна в S :

.

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах

§1. Свойства НОД и НОК

Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми , или коническими .

Элементы и из S называются взаимно простыми , если НОД (,)=1.

Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.

Свойства делимости в целых полугруппах

(1) ;

(2) – рефлексивность ;

(3) – антисимметричность ;

(4) – транзитивность ;

(5) ;

(6) ;

(7) Любой простой элемент неприводим ;

(8) р неприводим Û;

Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.

Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух элементов а и b из S . Пусть (a ,b ) и (a ,b ). Тогда из определения НОД следует и . По свойству антисимметричности имеем .