Дипломная работа: Некоторые задачи оптимизации в экономике

Изучение экономических приложений математических дисциплин, составляющих основу актуальной экономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить знания в этой области.

Целью данной работы является изучение некоторых оптимизационных методов, применяемых при решении экономической задач.

При написании дипломной работы были поставлены следующие задачи:

· Рассмотрение некоторых экономических задач и составление математических моделей.

· Изучение некоторых математических методов, применяемых для решения оптимизационных задач в экономике.

· Практическое решение задач.

1. Математические модели в экономике

Современная экономическая теория включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи. Во-вторых, из чётко сформулированных исходных данных и соотношений можно сделать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценить форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. В-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать её понятия.

Математические модели использовались с иллюстративными исследованиями ещё Ф. Кене (1758г., «Экономическая таблица»), А. Смитом (Классическая макроэкономическая модель), Д. Риккардо (Модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесли математики Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето и другие. В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Р. Солоу, В. Леонтьев, Л. Канторович и другие). Развитие макроэкономики, микроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики. В России в начале XX века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1960-е – 80-е годы экономико-математическое направление было связано, в основном, с попытками формально описать «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин). Строились многоуровневые системы моделей народно – хозяйственного планирования, оптимизационные модели областей и предприятий.

Математическая модель экономического объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Иными словами, модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые решения в той или иной ситуации.

Можно выделить 3 этапа проведения математического моделирования в экономике:

1. ставятся цели и задачи исследования, проводится качественное описание объекта в виде экономической модели.

2. формируется математическая модель изучаемого объекта, осуществляется выбор методов исследования. Далее исследуется модель с помощью этих методов.

3. осуществляется обработка и анализ полученных результатов.

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.

Мы будем рассматривать некоторые оптимизационные модели. К оптимизационным моделям относят следующие: модель линейного программирования, нелинейного, динамического, сетевые модели. Будем рассматривать модели линейного и нелинейного программирования.

2. Некоторые понятия функций нескольких переменных

Многим экономическим явлениям присуща многофакторная зависимость, поэтому при изучении процессов в экономике вводят функции нескольких переменных.

Переменная y называется функцией нескольких переменных x ₁ , x ₂ ,…, x_n , если существует отображение f : Rⁿ → R . Множество всех точек М, участвующих в этом отображении, называется областью определения функции , где М(x ₁ , x ₂ ,…, x_n ).

Наиболее часто встречается функция двух переменных. В экономике для её изучения широко применяются линии уровня.

Линиями уровня функции двух переменных y = f ( x ₁ , x ₂ ) называется проекция пересечения графика функции y = f ( x ₁ , x ₂ ) с горизонтальной плоскостью на плоскость Ох₁ х₂ , причём линия пересечения находится от плоскости Ох₁ х₂ на высоте С. Уравнение линии уровня имеет вид f ( x ₁ , x ₂ )=С. Число С в этом случае называется уровнем .

Как и в случае одной переменной, функция y = f ( x ₁ , x ₂ ) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки. В первую очередь это точки экстремума. Точки экстремума функции двух переменных определяются аналогично точкам экстремума функции одной переменной

Сформулируем необходимое условие экстремума – многомерный аналог теоремы Ферма: Пусть точка ( ) - есть точка экстремума дифференцируемой функции y = f ( x ₁ , x ₂ ). Тогда частные производные ( ), ( ) в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции y = f ( x ₁ , x ₂ ) , т. е частные производные равны нулю, называются стационарными.

Равенство нулю частных производных выражает лишь необходимое условие, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

у

?? ??????? ?????????? ???????? ????? М( ). ??????? ??????????? ( ), ( ) ????? ????, ?? ?????????? ? ????? М( ) ???. ????? ???????? ????? ???????? ?????????? ????????? ????? ???????? ??????? ????? ??????????. ????? ???????? ?? ?? ????? ??????????. ????? ???????, ????????? ????? ??????????? ??????? ??????????.

Достаточное условие экстремума функции двух переменных . Пусть функция y = f ( x ₁ , x ₂ ) :

a) определена в некоторой окрестности стационарной точки ( ) , в которой ( ) =0 и ( )= 0;

b) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго поряка( ) =А, ( ) = ( ) =В, ( ) =С.

Тогда, если =АС-В² >0 , то в точке ( ) функция имеет экстремум, причём, если А>0 минимум, А<0 – максимум. В случае =АС-В² <0 , функция y = f ( x ₁ , x ₂ ) экстремума не имеет. Если =АС-В² =0 , то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым. Требуются другие методы определения экстремума. [11]

В экономических задачах чаще встречаются задачи на условный экстремум. Перейдем к рассмотрению таких задач.

3. Задача математического программирования (ЗМП).

1) Общая постановка задачи