Дипломная работа: Некоторые задачи оптимизации в экономике
an 1 х1 + а n 2 х2 ≤ bn ,
при условии, что x 1 ≥0 , x 2 ≥0 .
Пусть геометрическим изображением системы ограничений является многоугольник ABCDE. Необходимо среди точек этого многоугольника найти такую точку, в которой линейная функция F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +с0 принимает максимальное (или минимальное) значение. Рассмотрим линии уровня функции F или
c 1 x 1 + c 2 x 2 =С ( 3.5).
Это уравнение прямой. Линии уровня функции F параллельны, т.к. их угловые коэффициенты определяются только соотношением между коэффициентами c 1 и c 2 и, следовательно, равны. Т.о., линии уровня функции F – это своеобразные «параллели», расположенные обычно под углом к осям координат.
Важное свойство линий уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в другую сторону – только убывает. При фиксированном С рассмотрим линейную функцию. Чем больше значение С, тем больше значение линейной функции. Определив направление возрастания линейной функции, найдём точку, принадлежащую многоугольнику, в которой функция принимает максимальное или минимальное значение.
Геометрическим изображением системы ограничений может служить и многоугольная область. Рассмотрим следующую задачу.
1.В суточный рацион включают два продукта питания П1 и П2 , причём продукта П1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице. Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей .
Питательные вещества | Минимальная норма потребления | Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта. | |
| П1 | П1 | ||
А В | 120 160 | 0,2 0,4 | 0,2 0,2 |
Решение .
Обозначим х1 – количество продукта питания П1 ,
х2 – количество продукта питания П2 .
F =2 х1 +4 х2 → min . (суммарная стоимость) При ограничениях
х1 ≤ 200,
0,2 х1 +0,2 х2 ≥120,
0,4 х1 +0,2 х2 ≥160.
Графическим решением системы ограничений является множество точек плоскости, называемое областью допустимых решений (ОДР). Линии уровня 2х1 +4х2 =0 
х2 =-
х1 .
Получаем, что минимальное значение, при заданных ограничениях на переменные, достигается в точке А(200;400) . F ( A )=2000.
Ответ : наименьшая стоимость 2000 будет при рационе 200 ед. продукта П1 и 400 ед. продукта П2 .
Не всегда бывает единственное оптимальное решение. Рассмотрим другую задачу.
2. F =4 x 1 +4 x 2 → max . При ограничениях
2 x 1 + x 2 ≥7,
x 1 -2 x 2 ≥-5,
x 1 + x 2 ≤14,
2 x 1 - x 2 ≤18.
Решив, систему ограничений найдём ОДР. Линия уровня будет иметь вид 4 x 1 +4 x 2 =0 x 2 =- x 1 .
В данной задаче линия уровня с максимальным уровнем совпадает с граничной линией многоугольника решений. Найдём точку пересечения линии IIс линией III:
х1 =
.
Найдём точку пересечения линии IIIс линией IV: 14- х1 =2 х1 -18. Отсюда х1 = 
. Следовательно, х1 = c , x 2 =14- c , c 
[;]. Пусть х1 =9 [;], х2 =5 .
F =4·9+4·5=56.
Ответ : Fmax =56 при множестве оптимальных решений х1 = c , x 2 =14- c , где c [;] .
Рассмотренный геометрический метод решения ЗЛП обладает рядом достоинств. Он прост, нагляден, позволяет быстро и легко получить ответ.