Дипломная работа: Обобщ нно булевы решетки

Из свойств (2), (4) вытекает, что и .

Если и , то по свойствам (3), (4) получим:

.

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

.

Таким образом, .

Пусть L решётка, тогда её наибольший элемент 1 характеризуется одним из свойств:

1. .

2. .

Аналогично характеризуется наименьший элемент :

1.

2. .

1.3. Дистрибутивные решётки

Решётка L называется дистрибутивной , если для любых выполняется:

D1. .

D2. .

В любой решётке тождества D1 и D2 равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [2], стр. 24.

Примеры дистрибутивных решёток:

1. Множество целых положительных чисел, означает, что делит . Это решётка с операциями НОД и НОК.

2. Любая цепь является дистрибутивной решёткой.

ТЕОРЕМА 1.2. ??????? L ? 0 ? 1 ???????? ?????????????? ????? ? ?????? ?????, ????? ??? ?? ???????? ?????????? ????

Доказательство этой теоремы можно найти в книге [1].

1.4. Обобщённо булевы решётки, булевы решётки

Всюду далее под словом «решётка» понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0.

Решётка L называется обобщённой булевой , если для любых элементов и d из L , таких что существует относительное дополнение на интервале , т.е. такой элемент из L , что и .

(Для , , интервал |; для , можно так же определить полуоткрытый интервал |).

ТЕОРЕМА 1.3. (О единственности относительного дополнения в обобщённо булевой решётке). Каждый элемент обобщённо булевой решётки L имеет только одно относительное дополнение на промежутке.

Доказательство. Пусть для элемента существует два относительных дополнения и на интервале . Покажем, что . Так как относительное дополнение элемента на промежутке , то и , так же относительное дополнение элемента на промежутке , то и .

Отсюда

,

таким образом , т.е. любой элемент обобщённой булевой решётки имеет на промежутке только одно относительное дополнение.

Решётка L называется булевой , если для любого элемента из L существует дополнение , т.е. такой элемент из L , что и

ТЕОРЕМА 1.4. (О единственности дополнения в булевой решётке). Каждый элемент булевой решётки L имеет только одно дополнение.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.