Дипломная работа: Обобщ нно булевы решетки

(1) Пусть - обобщённая булева решётка. Определим бинарные операции на B , полагая и обозначая через относительное дополнение элемента в интервале . Тогда - булево кольцо, т.е. (ассоциативное) кольцо, удовлетворяющее тождеству (а следовательно и тождествам , ).

(2) Пусть - булево кольцо. Определим бинарные операции и на , полагая, что и . Тогда - обобщённая булева решётка.

Доказательство.

(1) Покажем, что - кольцо.

Напомним определение. Кольцо - это непустое множество с заданными на нём двумя бинарными операциями , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Коммутативность сложения: выполняется ;

2. Ассоциативность сложения: выполняется ;

3. Существование нуля, т.е. , ;

4. Существование противоположного элемента, т.е. , , ;

5. Ассоциативность умножения: , ;

6. Закон дистрибутивности.

Проверим, выполняются ли аксиомы кольца:

1. Относительным дополнением до элемента будет элемент , а относительным дополнением элемент . В силу того, что , а так же единственности дополнения имеем .

2. Покажем, что .

Рассмотрим все возможные группы вариантов:

1) Пусть , тогда (Далее везде под элементом x будем понимать сумму ).

Аналогично получаем в случаях , , , и . Заметим, что когда один из элементов равен нулю (например, c ) , то получаем тривиальные варианты (a+ b = a + b ).

2) Пусть , а элемент c не сравним с ними. Возможны следующие варианты:

Нетрудно заметить, что во всех этих случаях , кроме того:

если c=a+b , то (a