Любая булева решётка является обобщённо булевой, обратное утверждение не верно.

Доказательство. Действительно, рассмотрим произвольную булеву решётку L . Возьмём элементы a и d из L , такие что . Заметим, что относительным дополнением элемента a до элемента d является элемент , где a ’ – дополнение элемента a в булевой решётке L . Действительно, , кроме того . Отсюда следует, что решётка L является обобщённо булевой.

1.5. Идеалы

Подрешётка I решётки L называется идеалом , если для любых элементов и элемент лежит в I . Идеал I называется собственным, если . Собственный идеал решётки L называется простым , если из того, что и следует или .

Так как непустое пересечение любого числа идеалов снова будет идеалом, то мы можем определить идеал, порождённый множеством H в решётке L , предполагая, что H не совпадает с пустым множеством. Идеал, порождённый множеством H будет обозначаться через ( H ] . Если , то вместо будем писать и называть главным идеалом .

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть L – решётка, а H и I – непустые подмножества в L , тогда I является идеалом тогда и только тогда, когда если , то , и если , то .

Доказательство. Пусть I – идеал, тогда влечёт за собой , так как I – подрешётка. Если , то и условия теоремы проверены.

Обратно, пусть I удовлетворяет этим условиям и . Тогда и так как , то , следовательно, I – подрешётка. Наконец, если и , то , значит, и I является идеалом.

Глава 2

2.1. Конгруэнции

Отношение эквивалентности (т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение) на решётке L называется конгруэнцией на L , если и совместно влекут за собой и (свойство стабильности) . Простейшими примерами являются ω, ι, определённые так:

(ω) ; (ι) для всех .

Для обозначим через смежный класс , содержащий элемент , т.е. ‌|

Пусть L – произвольная решётка и . Наименьшую конгруэнцию , такую, что для всех , обозначим через и назовём конгруэнцией, порождённой множеством .

ЛЕММА 2.1. Конгруэнция существует для любого .

Доказательство. Действительно, пусть Ф = | для всех . Так как пересечение в решётке совпадает с теоретико-множественным пересечением, то для всех . Следовательно, Ф =.

В двух случаях мы будем использовать специальные обозначения: если или и - идеал, то вместо мы пишем или соответственно. Конгруэнция вида называется главной; её значение объясняется следующей леммой:

ЛЕММА 2.2. =|.

Доказательство. Пусть , тогда , отсюда . С другой стороны рассмотрим , но тогда . Поэтому и .

Заметим, что - наименьшая конгруэнция, относительно которой , тогда как - наименьшая конгруэнция, такая, чтосодержится в одном смежном классе. Для произвольных решёток о конгруэнции почти ничего не известно. Для дистрибутивных решёток важным является следующее описание конгруэнции :

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть - дистрибутивная решётка, и . Тогда и .

Доказательство. Обозначим через Ф бинарное отношение, определённое следующим образом: и .

Покажем, что Ф – отношение эквивалентности:

1) Ф – отношение рефлексивности: x · a = x · a ; x + b = x + b ;

2) Ф – отношение симметричности:

x·a = y·a и x+b = y+b y·a = x·a и y+b = x+b ;

3) Ф – отношение транзитивности.

Пусть x· a = y · a и x + b = y + b и пусть y ·с = z ·с и y + d = z + d . Умножим обе части x · a = y · a на элемент с , получим x · a · c = y · a · c . А обе части y ·с = z ·с умножим на элемент a , получим y · c · a = z · c · a . В силу симметричности x · a · c = y · a · c = z · a · c . Аналогично получаем x + b + d = y + b + d = z + b + d . Таким образом .

Из всего выше обозначенного следует, что Ф – отношение эквивалентности.

Покажем, что Ф сохраняет операции. Если и zL , то ( x + z ) · a = ( x · a ) + ( z · a ) = ( y · a ) + ( z · a ) = ( y + z ) · a и ( x + z )+ b = z +( x + b ) = z +( y + b ) ; следовательно, . Аналогично доказывается, что и, таким образом, Ф – конгруэнция.

Наконец, пусть - произвольная конгруэнция, такая, что , и пусть . Тогда x · a = y · a , x + b = y + b , и . Поэтому вычисляя по модулю , получим

, т.е. , и таким образом, .

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ 2.1. Пусть I – произвольный идеал дистрибутивной решётки L . Тогда в том и только том случае, когда для некоторого . В частности, идеал I является смежным классом по модулю .