Математика / Дипломная работа: Обобщ нно булевы решетки

Дипломная работа: Обобщ нно булевы решетки

Действительно .

Покажем, что .

Воспользуемся тем, что (*), заметим, что и , поэтому мы можем прибавить к тождеству (*) или , и тождество при этом будет выполняться.

Прибавим : , получим .

Отсюда . Таким образом,.

Обратно согласно лемме 2, ‌‌‌‌‍|

Однако и поэтому ‌‌‌‌‍|

Если , то откуда

Действительно, (**).

Рассмотрим правую часть этого тождества:

Объединим первое и второе слагаемые –

Объединим первое и третье слагаемые –

таким образом (***)

Заметим, что , поэтому прибавим к обеим частям выражения (***) y :

Но , отсюда .

Следовательно, условие следствия из теоремы 2.1. выполнено для элемента . Наконец, если и , то , откуда и , т.е. является смежным классом.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть L – булева решётка. Тогда отображение является взаимно однозначным соответствием между конгруэнциями и идеалами решётки L . (Под понимаем класс нуля по конгруэнции , под понимаем решётку конгруэнций.)

Доказательство. В силу следствия из теоремы 2.1. это отображение на множество идеалов; таким образом мы должны только доказать, что оно взаимно однозначно, т.е. что смежный класс определяет конгруэнцию . Это утверждение, однако, очевидно. Действительно тогда и только тогда, когда (*), последнее сравнение в свою очередь равносильно сравнению , где с – относительное дополнение элемента в интервале .

Действительно, помножим выражение (*) на с :

, но, а , отсюда .

Таким образом, в том и только том случае, когда .

Примечание. Приведённое доказательство не полностью использует условие, что L – дистрибутивная решётка с дополнениями. Фактически, мы пользовались только тем, что L имеет нуль и является решёткой с относительными дополнениями. Такая решётка называется обобщённой булевой решёткой.

ТЕОРЕМА 2.3 (Хасимото [1952]). Пусть L – произвольная решётка. Для того, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруэнциями решётки L , при котором идеал, соответствующий конгруэнции , являлся бы смежным классом по , необходимо и достаточно, чтобы решётка L была обобщённой булевой.

Доказательство. Достаточность следует из доказательства теоремы 2.2. Перейдём к доказательству необходимости.

Идеалом, соответствующим конгруэнции , должен быть (0] ; следовательно, L имеет нуль 0.

Если L содержит диамант , то идеал ( a ] не может быть смежным классом, потому что из следует и . Но , значит, любой смежный класс, содержащий , содержит и , и .